基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2

白新岭

你的解释，系数2是双计法，如果单计是1我不那样看，虽然它与实际数据比较吻合，但是那是因为一个偶数表示成两个同样的素数只有一种，也就是全部素数的2倍对应着的偶数，因为素数在自然数中所占比例几乎为0，所以，这微小变化不会影响整体规律，即大部分偶数有你所谓的双计与单计的区别。但是对于个体而言，特别是小偶数，那就有很大的区别，6=3+3无论你的单计法还是双计法都是1对；而10就不同了，安你的说法，单计应该是2对，而双计是3对；14的，22的，这些影响都比较大。说这些，你可能还是不以为然，那就再看一看，3素数之和的情况，你是按无序的单计法呢？你还是按6计法呢？都不对，因为那里情况比这里复杂些，它有3个数都一样的解，只能是一组解，还有2个素数一样，是3组解，3个都不一样时是6组解，所以你就没有办法采用那种计法了，只能按原公式求解了，那公式是求不定方程素数解的，它不是求整数的素数分拆的。当更多元时，情况更复杂，就更没有什么双计，单计了。
那个2是2份的意思，也就是说，如果把自然数分成两类(即两个整体），则落到偶数位上的是2份，落到奇数位上的是0份，在3个素数和中正好相反，落到奇数位上的是2份，落到偶数位上的是0份。
对于后边的素数而言，如果把自然数分成素数P类（P份)，则落到能整除P的数位是P/(P-1)份，落到其它数位上的各为P(P-2)/(P-1)^2份，它们符合乘法定理。从这里可以看出，每个自然数分到的份数之和为总份数，在自然数集有n份，所以它们的和为n。

在上楼我发的帖子中，用的前n个偶数的系数之和，所以说是2n，因为n个偶数，肯定有n个奇数，所以是2n份，平均系数为1.

还有一个问题那就是后边的主项n/(LN(n))^2，它所表示的数学意义是平均每份有多少对素数，它是：n前素数个数的平方/n的变形，用素数定理代替n前素数个数自然的到。

在就是你的t1，t2它所反映的数学意义是：当用n前的两个素数相加时，落到n及n前的偶数位上的素数对要多，而落到n后的素数对要少，也就是说落到n前的大于n前素数个数的平方/2,随着偶数的增到这种比例在减小，但是永远大于50%，

可是在素数减法中则不然，它落到偶数位上的素数对之和正好是（素数个数的平方-素数个数）/2，绝对不到一半，而且一个不多，一个也不少，公式与哈代的公式一样（必须限定范围，否则每个差值都有无数组解）

愚工688

白新岭 发表于 2019-1-30 02:29
你的解释，系数2是双计法，如果单计是1我不那样看，虽然它与实际数据比较吻合，但是那是因为一个偶数表示成 ...

你说的我也看不清楚。很烦的。
你就拿几个实际偶数计算一下，看看怎么情况吧！
比如：1000、1002、1004这3个偶数，也不大，很容易计算的。

白新岭

是。你举的例子，安你的说法双计D（1000）=56，D（10002）=72，D（10004）=36，单计正好减半。不过仅接着的一个偶数1006就没有那种巧合了，它双计为35对，单计18对，显然不是2倍的比例。因为只有素数2倍的偶数在双计时是奇数对，其它偶数都是偶数对，所以单计，双计在接近100%的成立，因为素数在自然数集的占有率几乎为0. 安这种计法（双计，单计）在2素数之和中还是基本上行的通的，但是在3个素数之和中就行不通了。

在你举的例子中有一对偶数达到完美，那就是1002与1004，它们一个是大素数167与2*3的乘积，一个是251与4的乘积，167与251都是它们所对应的偶数根号值外的数，所以偶数的素数对比例取决于它的小因子，共同因子2就不讨论了，因为因子相同，则分配份数相同。

而1002还有因子3，所以它是1004不含因子3的2倍，因为含因子3的偶数占整个偶数素数对的50%，而对模3余1或2的偶数类各站25%，所以有50%/25%=2 （紧接着的1006也基本吻合），而1000就不符合了，安能整除5与不能整除5来说，它应该=36*4/3=48对，可实际为56对，多了8对，从这里可以看出，从整体得到的比例值并不一定都适合个体。

小于1004的素数共有167个（不包括素数2），所以共合成结果为167^2=27889,它们实际落到979个偶数位上，均值为28.487对，如果把系数计算到32以内，则为1.32879870754356 ，（除素数2采用整除的系数2以外，其余素数都采用系数P*（P-2)/(P-1)^2），这样有1002的因子3，所以系数为（3-1）/(3-2)*1.32879870754356 =2.657597415,它乘28.487得到75.7对，比实际的72对要多，但是，理论上是把总合成数对均分成1002份，而不是实际落到的979个偶数位，如果按理论值1002份均分，则每份27.83对，乘调节系数2.657597415，有73.97对，还是比实际72对多。如果我们采用哈代公式，系数的取值范围在32以内，则2.657597415*1002/(LN(1002))^2=55.77对，这要比直接用n前素数个数的平方/n做主项得到的结果相差很远。偶数1004的也一样会有此种结果。

但是无论用素数个数，还是用素数定理代替素数个数，对于偶数1000来说，误差都大，它的调节系数为1.77173161，素数对均值为27889/1000=27.889,理论素数对49.41对。


所以用n前素数个数比起用素数定理来说要好的多。

这里的系数之和还是n，平均系数为1，这与取到根号前与n前是没有关系的，但是取值范围必须一致，即通项系数与含因子的系数要一致，通项系数=2*∏（1-1/(P-1)^2),P大于等于3，为素数，小于根号n；含因子系数需乘∏(（P-1)/(P-2)).

落到1000及以内偶数上的素数对为16348，而总共有27889对，占比58.62%，这个比值随范围的扩大是在减小。

重生888@

白新岭 发表于 2019-1-31 11:13
是。你举的例子，安你的说法双计D（1000）=56，D（10002）=72，D（10004）=36，单计正好减半。不过仅接着的 ...

白新岭先生，为什么要对n前素数个数进行平方，然后再分配？基于什么理论？

愚工688

白新岭 发表于 2019-1-31 03:13
是。你举的例子，安你的说法双计D（1000）=56，D（10002）=72，D（10004）=36，单计正好减半。不过仅接着的 ...

奥，你是用平均素数对再乘以调节系数来计算偶数的素对数量的。但是求这个平均素数对并不容易。对于几百亿的大偶数N，难度要统计N前的全部偶数的素数对数量不成？
若是使用n前素数个数比起用素数定理的计算式，计算精度要提高很多。比如我在一楼举例的Zuo(N)计算式。 Zuo(N) ~ C(N)* π(N)^2/N . ------- {式4}  
但是对大偶数，Zuo(N)计算起来并不容易，因为统计N前素数个数π(N)并不是容易之事，因此程序运行速度则比较慢。
仔细看，你也是用 π(N)^2进行计算的，基本是与Zuo(N)计算式相同的。因此计算值精度是比较高的。唯有程序运行速度比较慢是无法避免的。对于几十亿以上的大偶数N，你的计算式呈现计算比较困难。
[通项系数=2*∏（1-1/(P-1)^2),P大于等于3，为素数，小于根号n；含因子系数需乘∏(（P-1)/(P-2)).——p小于根号n？若这样则与我使用的拉曼扭扬系数c1一致。]

白新岭

一个集合有A个元素，如果任意的取一个元素，与它集合中的每一个元素相加，就会得到A^2个加法算式，这里是任意，所以不能把a+b与b+a看成一个算式，只有a+a才是一种算式，你可能说了，它们的和相等，算一种，但是和相等的多了，可能c+d的结果也与它们相等，为了保证每个元素的组合数都一致，必须把不同位置的元素和看成两对。
然后进行分配，是因为对模P而言，它们一定落到P类余数，无论那种结果，都不会落到P类余数以外，也就是说，自然数对模P来说，只能分成P类数，不可能有p以外的类。
n前的素数之和，如果模n，它们只能分配到n类余数上，不可能分到n+1的余数上，实际上它还是余数1，所以对于任意的n值，无论是自然数本身，还是它们的和值（元素个数可以是任意的）都会落到它的n个余数上，没有落到以外的情况，这就是再分配的理论。
当然它并不能解释分配多少的问题，分配的多与少就要看它之前的素数了，因为根号后的素数因子对分配影响较小，所以就不用它们了只用它根号前的素数，每一个素数都把能除本身的偶数分配到P*（P-1）/(P-1)^2份，而其余的P-1类余数各分得P*（P-2）/(P-1)^2份。这里素数2也在其内，只不过它做的比较绝，把能整除它数分到2份，而不能整除它的分到0份，这就是奇数没有素数对的原因（当然素数2不能参与运算），而素数3把能整除它分到1.5份，而余1或2的各分到0.75份，3份分完，其它的素数都可以安公式求得它们分到的份数，所有余数分到的份数之和等于P，如果均分为1，所以每个素数对能整除本身的数都有偏爱，都多分1/(P-1)^2份。它们的分配符合乘法定理，即在第一步，有k种办法，第二步有j种办法，那两种途径共有k*j种办法，这里就成了分到多少份了，把一个整体1分成n份，有每份数*应分到的份数就是实际的个数了。

白新岭

如果要计算一个偶数的素数对，统计它前所有偶数的素数对是没有意义的。
我之所以统计它前所有偶数的素数对（实际上我是统计它前所有两个素数的和落到每个偶数的素数对，这包括了2n前的偶数，但是素数必须小于n），是想分析问什么实际的统计值比理论值都多的原因，因为它没有按照像两个自然数的和一样，落到它前与后的完全一致，从2开始一直增到n结束，再一直减到2n-2止。而素数和的分布并不这样规整，所以就出现了，你的t1，t2，它们的值随n的增大而减小，绝对不可能增大，有极个别的可能大于统计值。
再就是前边的系数实际上就是应分到的份数，对于n来说，因为有最小系数1.32，奇数有不能分上，所以大系数大于2，要不平均系数就不为1了，它们的分配是很不均衡的。
在有引起素数对误差的原因，所有素数对具体的素数模P来说，各种余数不完全平均，它会导致理论值与实际不符的原因之一，还有素数本身的参与也会引起微小的变化，因为理论值是建立在各种余数均衡的原则之上的，并且余数0不参与运算。

愚工688

重生888@ 发表于 2019-1-31 04:43
白新岭先生，为什么要对n前素数个数进行平方，然后再分配？基于什么理论？

如果你仔细看过我1楼的哈李公式的变换成Zuo(N)的内容，就不会不明白这个道理了。其实这就是哈李公式的一种变形。

愚工688

白新岭 发表于 2019-1-31 08:07
如果要计算一个偶数的素数对，统计它前所有偶数的素数对是没有意义的。
我之所以统计它前所有偶数的素数对 ...

今天是2019-01-31，以今天日期为随机数，计算其百倍，千倍的连续偶数的素对数量。
我的计算式： Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  S( 2019013100 ) = 4682545    ;Xi(M)≈ 4681431.12     δxi(M)≈-0.0002379  ( t2=  1.104341 )
  S( 2019013102 ) = 3293813    ;Xi(M)≈ 3294658.61     δxi(M)≈-0.0002567  ( t2=  1.104341 )
  S( 2019013104 ) = 6471075    ;Xi(M)≈ 6472750.9      δxi(M)≈-0.0002590  ( t2=  1.104341 )
  time start =20:29:32, time end =20:29:41
  S( 20190131000 ) = 37788161  ;Xi(M)≈ 37710439.86    δxi(M)≈-0.002057  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190131002 ) = 25877171  ;Xi(M)≈ 25828659.73    δxi(M)≈-0.001875  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190131004 ) = 52770555  ;Xi(M)≈ 52670209.26    δxi(M)≈-0.001902  ( t2=  1.091059 )
  time start =20:29:53, time end =20:30:35
可以看到，3个大偶数的计算时间合计都不到1分钟。并且每个偶数的素对计算值的相对误差都比较小。

如果同样采用Qbasic 语言编写的程序计算 采用 π(N)为参数的计算式 Zuo(N) ~ C(N)* π(N)^2/N . 估计没有1个小时是难以完成的，这个就是使用 π(N)为参数的代价。当然如果能够采用高级一些语言编写程序，不在此列。
白先生，你编写的计算程序采用什么语言？

白新岭

对于编程来说，我可能远远不及愚工688.   我只是在验证k生素数公式时，向vfbpgyfk先生请教过编程，当时也学会点，做了几个简单的程序。那是用VFP计算n前4生素数数量的程序。在本专栏有帖子“[原创]请教vfbpgyfk先生一个编程问题”

我的大部分数据和公式是用excel软件获得的。
我看过好多帖子，对哈代公式（包括哥德巴赫猜想，孪生素数对，3个素数的和（也有人称三素数定理））好像是用数论知识得到的，里边有圆法，单位1的素数p次根，看不懂，我是一个高中生，数学根基太浅。

对于数论仅仅是自学点皮毛，群论知识知道的也不多 。
从你给重生888的回帖可以知道，你只是认为 Zuo(N) ~ C(N)* π(N)^2/N的公式是哈代公式的一种变形，而不是认为哈代公式是用素数定理后的变形。
至于称谁的公式并不重要，重要的是它能从数学理论中推到出他的公式吗？他能解释各个部分具体数学含义吗？我在帖子中，好像你提到过tongxinping，把别人的公式稍微变形成了自己的公式，当然他好久也不来此网站了。
大傻88888888把连乘积做了变形得到了哈代公式，他说如果以前没有人做过，他就是第一人证明哈代公式的，原话可能不是这么说的。

我来这里讨论，是想说明引起哈代公式偏差的原因，并不考虑计算的快与慢问题，也不是考虑精度问题，如果考虑他直接用编程统计即可。

当然寻找一种精度高计算快的方法还是一种不错的想法。

如果可行的话，可以用n/LN(N)的积分代替主项，系数还用原来的，这样的话速度与精度都会很高。

有一道简单不定方程正整数解问题，不知道愚工敢不敢兴趣，x+y=n，x，y为正整数且不能整除3，5，7三个素数，即在x，y的分解因式中没有因子3，5，7.

这是个有限问题，如果能解决它，就可以明白到底那一种表达公式是原始的，那一种公式是变形了，也会知道前边n个偶数的系数之和为2n的原因（这与取到根号前没有关系）。