基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2

白新岭

多谢愚公再次对f(n）的取值做的详细解释。
我就不同了，虽然得到了好多公式和系数，却始终没有详细说明推导过程及数学理论依据，虽然在帖子中会隐隐约约看到它的影子（很多年以前，我就说过，如果谁能真正理解了拉曼纽扬系数（拉玛努金）就可以顺理成章得到哈代-李特尔伍德有关的哥德巴赫猜想素数对公式和孪生素数对公式），也可以自己找到更深层次的k生素数中项和公式，k生素数公式，多元的素数和或差公式，以及多元的k生素数中项和或差公式，还有好多与此相关的系数（无穷项的极限），等等。

白新岭

在哈代公式中，前n个公式的系数和为2n（包括偶数2和偶数4在内），平均系数为1（所有自然数，因为奇数前的系数为0，这是素数2的杰作），主体表示平均每份有多少个素数对。
推论，如果按素数把偶数分类，则整除素数p的一类数占全部素数对的1/(P-1),而其余的P-1类数各占(P-2)/(P-1)^2。
所有与条件有关的线性方程解的组数=调节系数*符合条件的元素个数^m/n/(m-1)!,这里的m为元数。

我的签名就是该公式的具体表现形式。

愚工688

白新岭 发表于 2019-2-28 02:11
多谢愚公再次对f(n）的取值做的详细解释。
我就不同了，虽然得到了好多公式和系数，却始终没有详细说明推 ...

我以前一直是运用埃氏筛法计算偶数的素对数量的。
因为任何偶数2A分成两个整数，必然可以表示为A±x 。因此求素对的数量，只是求能够构成素对A±x 的x值。依据埃氏筛法，就是A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数； [r为≤√(M-2)的最大素数, 下同。] 加上 A-x 除以≤r的某些素数时虽然能够整除但商为1的情况，就得到全部的素对。
但对孪生素数对公式，我没有研究过。
对哈代公式，以前不太了解。在网上与网友交流后才知。
因为我自己编写了对素对计算值的相对误差的统计软件，对连乘式的相对误差作了一些样本区域的统计计算，于是得到一些相对误差的修正系数μ，使得素对计算值的精度得到很大提高。
把误差统计移植到哈代计算值上面，发现与连乘式有共性的特点：偶数趋大后，样本区域的相对误差的波动都很小，使得使用误差修正的方法对哈代公式也能够适用。
当然我对哈代公式的计算素对数量的原理并不很清楚，但是并不妨害我编写提高哈代计算式的计算值精度的公式与软件。
对于哈代公式中的拉曼纽扬系数C，我没有完全照搬，它的两部分，我都是只计算√（2A-2）以内的素数。
因为拉曼纽扬系数C（N）=C2A（N）*C2B（N）。而C2A（N）=PI(1-1/（P-1）^2），[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]；没有必要计算N以内的全部素数，计算√N内的全部素数就足够了，稍大的偶数其计算值就已经趋于极限值，再计算下去纯浪费时间；
同样波动系数C2B（N）也是如此。偶数含有的素数在√N外最多有一个素数，计算值仅仅略微大一点。而从埃氏筛法看，只使用√N内的素数进行筛选，波动系数只与含有的√N内的素数有关。

白新岭

你有空比较一下自然数的倒数和，ln（N），∏(P/(P-1)),三者的大小关系，注意这里的P同样是取根号N前的素数。再用N除以它们的值表示素数的个数，要是比较最好以素数的平方值掐N值（这样可比性强）。

你有连乘积的知识积累，ln(N)易求，唯独前N个自然数的倒数和是需要你自己计算的。

愚工688

白新岭 发表于 2019-2-28 09:00
你有空比较一下自然数的倒数和，ln（N），∏(P/(P-1)),三者的大小关系，注意这里的P同样是取根号N前的素数 ...

    没有目的性的比较有什么意义呢？
    对于偶数哥猜，我使用素数连乘式，我可以确定哥猜解x的条件，可以使用公式比较精确的计算出其数量，可以用一个区域下界计算式得出区域下界计算值从下方接近实际偶数素对值点连线的波动折线，而且区域下界计算值有单调上升的特点。因此偶数哥猜必然成立时无异议的。
  而哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)，也具有比较高的计算精度。
老实说，我不知道在偶数猜想问题上，还有什么能够做？
在小偶数区域，虽然讲起来连乘式的计算值精度没有大偶数区域高，但是实际上计算值与实际素对之间也是比较接近的，具有相似的波动变化规律。
而波动幅度我也用一个素因子系数k(m)值表示清楚了。
看看小偶数区域素对计算值Sp(m)与实际不能被√（M-2）内全部素数整除的素对数量S1(m)之间的值点连线的变化折线图：
见我的帖子的2楼：http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=38499&extra=

（回复页面图黏贴不上，给个链接）


   
  

重生888@

愚工688 发表于 2019-2-27 17:26
我使用 Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   ,（t2=1.358-log(M)^……  ）对偶数10^n,(n=4-12) 的偶数素对数量的计算 ...

愚工先生好！您的数据，误差呈下降趋势。我的公式计算误差也是呈下降趋势，可互相印证。可不可以在这里发？

愚工688

重生888@ 发表于 2019-3-1 11:24
愚工先生好！您的数据，误差呈下降趋势。我的公式计算误差也是呈下降趋势，可互相印证。可不可以在这里发 ...

可以啊！
我是追求高精度的计算值的。
一般相对误差值绝对值大于0.10的计算式，我不是很感兴趣的。

重生888@

愚工688 发表于 2019-3-1 20:37
可以啊！
我是追求高精度的计算值的。
一般相对误差值绝对值大于0.10的计算式，我不是很感兴趣的。

不感兴趣无所谓，只要符合规律就行！一个公式搞定：5/6x/(lnx))^2
偶数素数对真值                  (lnx)^2          公式计算值                 公式计算值/真值
10000=127                           84.83              98                                98/127=0.772
100000=810                            132.54             628                              628/810=775
1000000=5402                        190.86             4366                   4366/5402=0.808
10000000=38807                     259.79             32077                 32077/38807=0.826
100000000=291400                 339.32            245589                 245589/291400=0.842
1000000000=2274205              429.45           1940466                1940466/2274205= 0.853
10000000000=18200488          530.19            15717635              15717635/18200488=0.864
100000000000=149091160       641.53           129897796            129897796/149091160=0.871
1000000000000=1243722370    763.47          1091507634          1091507634/1243722370=0.878
.......
同因子偶数，其素数对同步增长；误差逐步减少！
吴代业公式优于哈-李公式！至少在简单方面！           

白新岭

                用素数个数                       
10^n        素数个数        1.760431509        实际素数对        绝对误差        相对误差
1        3.0000000000E+00        1        3        2         0.666666667
2        2.4000000000E+01        10        12        2         0.166666667
3        1.6700000000E+02        49        56        7         0.125
4        1.2280000000E+03        265        254        -11         -0.043307087
5        9.5910000000E+03        1619        1620        1         0.000617284
6        7.8497000000E+04        10847        10804        -43         -0.003980007
7        6.6457800000E+05        77751        77614        -137         -0.001765145
8        5.7614540000E+06        584363        582800        -1563         -0.002681881
9        5.0847533000E+07        4551545        4548410        -3135         -0.000689252
10        4.5505251000E+08        36453745        36400976        -52769         -0.001449659
11        4.1180548120E+09        298540584        298182320        -358264         -0.001201493
12        3.7607912017E+10        2489875188        2487444740        -2430448         -0.000977086
        哈代公式                               
10^n        1.760431509        实际素数对        绝对误差        相对误差       
1        3        3        0         0       
2        8        12        4         0.333333333       
3        36        56        20         0.357142857       
4        207        254        47         0.18503937       
5        1328        1620        292         0.180246914       
6        9223        10804        1581         0.146334691       
7        67762        77614        9852         0.126935862       
8        518809        582800        63991         0.109799245       
9        4099234        4548410        449176         0.09875451       
10        33203797        36400976        3197179         0.087832233       
11        274411549        298182320        23770771         0.079718915       
12        2305819266        2487444740        181625474         0.073016888       
        积分取不大于ln(10^n）                               
10^n        1.760431509        实际素数对        绝对误差        相对误差       
1        3        3        0        0       
2        14        12        -2        -0.166666667       
3        56        56        0        0       
4        282        254        -28        -0.11023622       
5        1661        1620        -41        -0.025308642       
6        10993        10804        -189        -0.017493521       
7        78335        77614        -721        -0.009289561       
8        587153        582800        -4353        -0.007469115       
9        4567073        4548410        -18663        -0.004103192       
10        36548552        36400976        -147576        -0.004054177       
11        299158483        298182320        -976163        -0.003273712       
12        2494079818        2487444740        -6635078        -0.002667427       
根据愚工688提供的数据，我对用哈代公式，素数个数，积分三种形式做了比较，见以上数据，用素数个数计算的值是比较接近真实值的，大多数是负误差（即计算值比实际的多），积分值也比较接近但是没有用素数个数接近度高，最差的就是哈代公式了，所以从精确度上讲还是用素数个数公式比较好。

白新岭

无论愚工688的高精度计算值，还是我用素数个数或积分（加上哈代公式）都有一个共性，那就是无论如何也不能达到完全吻合，因为这里使用了同一规律作为支点（指每种解法都才用固定模式，而不是左右摆动），所以无论采用何种修正系数都不可能符合每一个偶数，因为每个偶数的素数对都有自己特性，它们根本就不可能符合同一种规律，素数的出现的不确定性，就造成了这种结果，你的修正系数越来越小，不是忽大忽小，所以精度就没有保持一直增高的规律，而是忽高忽低（这是素数的不同余数的个数不相等造成的）。