[求助]求解一个有点趣味的摸取截取木料之概率计算问题

3到32个字符

设有一个库房，里面放着100根木料，长度分别是1，2，3。。。100。最短1单位，最长100单位，共100根。
现在由裁判按照上述100根木料的长度，分别剪裁出同样长度的100条绳子来作为尺度。
库房外面有100个队员，他们都闭上眼睛，从裁判手里随机取得这些绳子。
他们随机进入库房，随机摸取木料，每人每轮只摸取1根。
摸到木料后，他们用绳子去衡量手里的木料。
如果摸取的木料经衡量是长于或者等于绳子，则这样的队员就睁开眼睛走出库房，手持木料和绳子去往车间，按照绳子的长度来截取木料，使截取后的木料长度等于绳子的长度。
如果木料比绳子短，则他们手持木料和绳子继续闭着眼睛不动，待去往车间的队员走空后，把自己手里的木料交出，归拢，再在库房继续随机摸取。。。直至把木料摸尽，全部送往车间截取完毕。
请问：
1、这样的摸取，最终经截取后的木材的最大可能长度总和是多少？
2、通用的一般化解答方法。
3、如果想把木材的可能长度总和尽量扩大，捎带着酌情处理考虑减少摸取的次数和混乱，那么，是否可以通过归并、精简绳子的规格来解决？
例如，比方说，原来是共有100根绳子，同时有100种尺度、规格，现在改进为10规格各有10根，或者比方说，是3种规格、尺度的绳子共计100根，或者，仅仅采用2规格，每一规格、尺度分别有若干根绳子，共计有100根，这样一来，队员按改进后的绳子去摸取，就可以尽量扩大木材总长度，捎带减少摸取次数和摸取当中的混乱。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 3到32个字符 在 时添加 -=-=-=-=-
“则这样的队员就睁开眼睛走出库房，手持木料和绳子去往车间”。。。。。这些队员和木料，不再返回库房。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/19 07:14pm 第 2 次编辑]

此题解答如下：

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非常感谢luyuanhong老兄！
祝愿老兄牛年更牛~~~~[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 3到32个字符 在 时添加 -=-=-=-=-

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后续问题一：
根据luyuanhong老兄的解答，当例如N=100的时候，可知前2轮（省略掉第三、第四。。。轮）的摸取结果是：
所摸取、截取到的木材总长度=1717+336.531≈2053.53
上述长度总和，是假定木棍根数=100等情况下，采取100种规格（尺度分别从1单位。。。100单位）的绳子来摸取所获得的。
进而，似乎，我们可以猜测：如果采取2规格的绳子来摸取、截取木棍，可能更方便更快捷，并且，同样能截取到2053.53的总长度，甚至大于2053.53。
换言之，我们可以改进摸取、截取的规则与方法。
例如，可在第一轮采取唯一的规格，这唯一的尺度长为X，摸取、截取的结果是x根，第一轮长度之和=X*x≥1717
同样，第二轮的时候也采取唯一的规格，其长度是Y，截取到了y根，第二轮长度之和=Y*y≥336.531
那么，以上猜测成立吗？
如果采取2规格的猜测成立的话，或者，如果“通过精简合并绳子的尺度，采取大于等于2的规格，可改进摸取截取结果”的猜测能够成立，那么，应当如何确定尺度（采取几种尺度？每一尺度分别多长？每种尺度分别有多少根？第一轮是什么尺度，第二轮又是什么尺度？）呢？
换言之，有没有可能改进摸取方法，来获得更大更好的截取结果？
（以上，为简便可以取N=100；并且省略掉第三轮、第四。。。轮的摸取，只取前2轮为总结果）

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后续问题二：
上面的讨论，都是木料根数=绳子根数=N根情况下的，也是从同等的1单位尺度开始的，并为了简便，设最大长度（或者叫高度、宽度）为N单位。
如果发生了变化，成：
木料为M根，长度分别是1，2...a，a+1...M；
绳子为N根，长度分别是a，a+1...M；
M＞N
那么，这种变化了的情况下，拓展的情况下，如何重新得出解答计算方法呢？
为了形象说明这种变化，下面做2个示意图。这里的示意图不一定是规范、确切的，只是用来表达讨论内容的推广、扩大，和表示大小图形的局部、整体关系。
如下：

上面2个示意图太小，可点击后再放大来看。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/19 07:16pm 第 2 次编辑]

下面引用由3到32个字符在 2009/02/19 09:56pm 发表的内容：
换言之，我们可以改进摸取、截取的规则与方法。
例如，可在第一轮采取唯一的规格，这唯一的尺度长为X，摸取、截取的结果是x根，第一轮长度之和=X*x≥1717
同样，第二轮的时候也采取唯一的规格，其长度是Y，截取到了y根，第二轮长度之和=Y*y≥336.531
那么，以上猜测成立吗？

如果各轮摸取时绳子长度唯一，问题可以大大简化，这时很容易求得结果，也很容易推广到三轮、四轮、更多轮的情形：

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/19 07:17pm 第 2 次编辑]

我发现，每一轮摸取时，队员手里的绳子长度规格单一，总是要比绳子长度有多种规格、长短不一来得好。

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谢谢老兄了！！
兄弟感激和开心~~
暂时有点事，先打印下来老兄给予的解答，带着去阅读学习。。。。。。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 3到32个字符 在 时添加 -=-=-=-=-
感谢陆老师的大力帮助指教！很感谢！！
兄弟不懂数学，可觉得陆老师的证明和解答很漂亮。
继续阅读学习~~