D,E,F 是 ΔABC 三个旁切圆与三边的切点，已知 AB=6，BC=4，CA=5，求 SΔDEF／SΔABC

luyuanhong

这是台湾网友 winnie 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

dodonaomikiki

先做一个预备工作：
Nagel triangle    T(A)T(B)T(C)有一个性质， AT(A) 或者BT(B)  或者CT(C),能够把这个三角形的周长，一分为二。
那么，接下来，三个旁切点把三角形的三边分别“切”出六段线段の长度，统统计算出来，很简单

dodonaomikiki

预备工作做完之后，
把∠A,   ∠B,   ∠C的正弦值，算出来！
要求得正弦值，就利用余弦公式，把余弦值先计算出来即可！



接下来，利用海伦公示，计算出▲ABC的面积，以及附着在奈戈尔▲DEF旁边的三个小三角形的面积
▲ABC的面积-奈戈尔▲DEF旁边的三个小三角形的面积=奈戈尔▲DEFの面积
最后一步，计算：奈戈尔▲DEFの面积/▲ABC的面积

dodonaomikiki

附注：
N点=Nagel point
海伦公式= Heron’s formula (actually, Archimedes’ formula)
A =√s(s-a)(s-b)(s-c)

luyuanhong

谢谢楼上 dodonaomikiki 的解答。下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：