非实数的复数到底能不能比大小

ataorj

非实数的复数到底能不能比大小

网上说，虽然有序，但因为是二值系统并且i的运算特殊，所以这种复数不能比较大小[但可以相等]，还说大学教材中有证明。

我的观点
既然有序就应规定大小，至于运算特性，能否满足你的习惯那是另一回事，能用的地方就用，不能用的地方别用就行了。自有用处，不会因噎废食。

依据大小标准，比较大小就是确认和共识一种相对关系。不比较方向，比较模的大小来做标准是很不精准的，即便不比较方向，模相等又能如何。[注，模相等和复数相等是不同的概念]
又比如可能会说3+0.000i和5+0.00i,虚部较小，可以忽略之，所以可以比较大小

因为是二值系统，实轴和虚轴上都可以有其大小标准[正方向为大]，相对地，实轴实部大，还是虚轴虚部大呢？只能一种为主，另一种从属了。我们主观上比较看重实数与实数的运算习惯，这里建议规定:
先以实部大小为大小标准，实部相同时再以虚部大小为标准。
至于实部或虚部相对太小可以忽略的情形[相对地太接近0就视为0的意思]，不在大小标准考虑之列。就是说，若比较大小，有无实或虚部，标准不参合，只要提供实部 和(或) 虚部 就不忽略。

这样就2>100i了，不能因此说100i没2重要。比如2>-100，你能说后者没前者重要吗?前面说的'忽略'，并非是消失连数都不是了，而是用相近值0代替，而0在数轴上有其一席之地。

这种标准适合加减法，即大数相加会更大。

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附一个网文:
h-t-tp-s://zhidao.baidu.com/question/27105133.html?qbl=relate_question_7
复数2+i与复数1+i可以比较大小吗?
我知道虚数与虚数不能比较,但是(2+i)-(1+i)=1＞0推出2+i＞1+i。

答：复数2+i与复数1+i不可以比较大小。
对于复数z=a+bi (a,b为实数）
当b=0时，z为实数，可以比较大小；
当b不为零时，z为虚数，(a=0时为纯虚数)，不能比较大小。
数学上所谓大小的定义是，在（实）数轴上右边的比左边的大。而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义。而且定义复数的大小也似乎没有什么意义。
在实数集中任意的两个数都可以确定大小关系, 对于任意两个（实）数a，b来说，a＜b，a＝b，a＞b这三种情况有且仅有一种成立； 在复数C中，我们无法规定大小关系，因为复数中引进了一个虚数单位i. 假如我们规定i>0,两边同时乘以i,得到i^2>0 即 -1>0,显然,这是矛盾的.同样规定i<0,也是行不通的.所以两个复数之间不能比较大小。当然,若两个复数都是实数,就可以比较大小。
参考：百度

xuyangjing

哇！十分感谢

xuyangjing

哇！十分感谢

elim

任何集合都可以定义序关系。说复数域不能成为有序域是因为
不论如何定义序，它都不能满足以下二公理：
对域中任意元 x, y, z,
(1) x < y 蕴含 x+z < y+z,
(2) x > 0, y > 0 蕴含 xy > 0。


当然，不满足这些的序关系还是可以有别的用处的。但是大量有序域中成立的不等式肯定要泡汤。  

xfhaoym

好象是不能，因为虚数有方向性，如同矢量一样。只能比模的大小。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

ataorj

套用已有的实数规律习惯来否定一个新的复数规定是不恰当的.
发现矛盾只能说不能套用,然后尽可能详细严格全面研究和遵从新的正确规律才是恰当的逻辑思维,否则是过于粗糙的.
以主题中大小标准,下面企图研究下乘法改变大小的规律
假设a+bi>c+di
乘以m+ni看看:
(a+bi)*(m+ni)=am-bn+(an+bm)i
z=[(a+bi)-(c+di)]*(m+ni)=[a-c]m-[b-d]n+([a-c]n+[b-d]m)i
[a-c]m-[b-d]n>0时,z>0;<0时,z<0;
=0时看([a-c]n+[b-d]m)[这里暂时略过不考虑]

z的大小一定要跟a+bi>c+di关联的话还要分析
a>,<,=c;
a=c时又要分析b,d关系情形
这些都看来过于复杂,我放弃分析.

有一点是确定的,复数和实数的运算前后规律与实数间的运算前后规律类同.这也就是主题说的,新规定适合加减法.

另外更正主题末尾中说"大数相加会更大"如下:
大数相加依然是大数,小数相加依然是小数,
如上相加后,大数和小数的差值会更大

任在深

要分清复数是个表示什么的“数”？！就知道它是否有大小了！

如图：
        1.(1) Z1= a+ib,
           (2) Z2=-a+ib.
          式（1),（2）都是表示点，由点的定义可知，点是没有大小的，因此a+ib,-a+ib,分别表示他们所在的位置(点)！

        2.复数的模有大小，因为它们表示的是线段的量。
                _        ________
           (3) Z1=▏√a^2+b^2 ▏
                _         __________
          (4）Z2=▏√(-a)^2+b^2 ▏

      3.复数模的平方表示面积单位的量，当然更有大小了！
                   _               _______
         （5）(Z1)^2={▏√a^2+b^2▏}^2=a^2+b^2
                    _               _________
           (6)）(Z2)^2={▏√(-a)^2+b^2▏}^2=a^2+b^2

由此看来人们对复数的理解还不太明白？
              _
假设 (7) (Z)^2=(√2n)^2, a=√Pn,b=√Qn

   则 (8)（√2n)^2=(√Pn)^2+(√Qn)^2

        这样一转变就是哥德巴赫猜想！？


        
         

ataorj

点没有大小，坐标也没大小吗？
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标准改为:
复数比较大小是分别比较实部和虚部的大小。用两者描述复数大小。一般不说x>y，除非实部和虚部都这样或一个是相等关系。
这样就更精准了。

任在深

ataorj 发表于 2018-11-21 14:22
点没有大小，坐标也没大小吗？
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标准改为:

点没有大小！
坐标如果表示的是点，当然也没哟大小了。
作为坐标（点），请问北京大？还是上海大？！
看来纯粹数学到了该整顿该改革的时候了！！！

                           人在山中雾蒙蒙，
                           登山远望看得清，
                           虽然树丛一排排，
                           松柏杨柳分得明！