p 为素数，证明 “2^p-2 不含有 p^2 因子，2^p-2 不能被 p^2 整除” 是伪命题

luyuanhong

这是网友 qingjiao 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

这里p为素数。

由2^p-2=(1+1)^p-2=1+Cp,1+Cp,2+..+Cp,p-1+1-2=Cp,1+Cp,2+...+Cp,p-1

易知其中每个Cp,k，当0<k<p时都含有p，故2^p-2必然含有p因子。

对于p^2，简单验算：

2^2-2=2，不能被 2*2=4 整除；

2^3-2=6，不能被 3*3=9 整除；

2^5-2=30，不能被 5*5=25 整除；

2^7-2=126，不能被 7*7=49 整除。

如何证明？？

195912

题：p 为素数，证明 2^p-2 不含有 p^2 因子，2^p-2 不能被 p^2 整除.
证:  命p=1093,则
                        2^14=16384=15p-11
所以
                        2^28≡-330p+121       (mod p^2)
由于存在
                        2^182≡-1                   (mod p^2)
所以
                        2^1092≡1                   (mod p^2)
即当素数 p=1093时,2^1093-2包含1093^2因子.
所以,"题:p 为素数，证明 2^p-2 不含有 p^2 因子，2^p-2 不能被 p^2 整除."为伪命题.

luyuanhong

楼上 195912 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

下面是网友 qingjiao 看了第 2 楼的解答后，

在“陆老师的《数学中国》园地”中发的一个帖子：

我看不明白这一步是怎样得到的，能否详细解释一下：

                        2^182≡-1                   (mod p^2)

===================================

因为2^182=(2^28)^6*(2^14)=(k*p^2-330p+121)^6*(15p-11)

展开后剔除含p^2的项，必剩下：(330p-121)^6*(15p-11)

再展开并剔除含p^2的项，必剩下：(-6*330p*121^5+121^6)*(15p-11)

其中不含p^2的项系数相当大，如无电脑辅助计算，并不能轻易判断它被p^2除余1。

这位朋友写得如此简略，似乎表示很容易判断，根据何在？？

qingjiao

其中不含p^2的项系数相当大，如无电脑辅助计算，并不能轻易判断它被p^2除余1。
=============================

更正一下：

其中不含p^2的项系数相当大，如无电脑辅助计算，并不能轻易判断它被p^2除余-1，或余p^2-1。

195912

题：p 为素数，证明 2^p-2 不含有 p^2 因子，2^p-2 不能被 p^2 整除.
证:  命p=1093,则
                        2^14=16384=15p-11
所以
                        2^28≡-330p+121       (mod p^2)                               (1)
又
                       3^7=2187=2p+1
所以
                       3^14≡4p+1                 (mod p^2)                                (2)
根据 (1) 有
                       3^2×2^28≡-2970p+1089         (mod p^2)
即
                     
                       3^2×2^28≡310p-4        (mod p^2)
这样便有
                       3^2×2^28×7≡2170p-28        (mod p^2)
即
                      3^2×2^28×7≡-16p-28        (mod p^2)
故
                      3^2×2^26×7≡-4p-7        (mod p^2)
根据二项式定理有
                      3^14×2^182×7^7≡(-4p-7 )^7≡-7×4p×7^6-7^7       (mod p^2)
即
                       3^14×2^182≡-4p-1       (mod p^2)              (3)
根据 (2) 及 (3) 得
                      3^14×2^182≡-3^14 ,                     (mod p^2)
故
                      2^182≡-1                      (mod p^2)   
所以
                        2^1092≡1                   (mod p^2)
即当素数 p=1093时,2^1093-2包含1093^2因子.
所以,"题:p 为素数，证明 2^p-2 不含有 p^2 因子，2^p-2 不能被 p^2 整除."为伪命题.

qingjiao

即
                       3^14×2^182≡-4p-1       (mod p^2)              (3)
根据 (2) 及 (3) 得
                      3^14×2^182≡-3^14 ,                     (mod p^2)
故
                      2^182≡-1                      (mod p^2)   

==============================

(2)就是 3^14≡4p+1                 (mod p^2)         吗？

这几步还是不太明白，根据什么样的运算规则可以直接得出此结果？？
谢谢！！

195912

定理1.若
                  a≡b,       c≡b                 (mod m) ,
则
                 a+c≡b+d,     a-c≡b-d         (mod m) ,
及
                     ac≡bd         (mod m) .      
定理2. 若
                        ac≡bd         (mod m)
                          c≡d          (mod m)
及 (c,m) = 1 , 则
                          a≡b          (mod m) .

luyuanhong

楼上 195912 的详细解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj

不知道195912是哪一位？如果这个网名是生日的话，年纪足够大了。看他的贴，很象是名古板认真的退休初中数学教师。