杨 辉 三 角——中国古老的费马大定理

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杨 辉 三 角
——中国古老的费马大定理
作者：易衍文
前  言
这里，我再次引用以下两段话：
20世纪数学思想的深刻变革，已将这门科学的核心部分引向高度抽象化的道路，面对各种深奥的数学理论和复杂的数学方法，门外汉往往望而却步。这样，提高数学的可接受度，就成为当务之急。
当前，世界各国都十分重视并加大力度，加强对数学的研究与普及工作。国际数学联盟（IMU）还专门将2000年定为“国际数学年”，其主要宗旨就是：“使数学及其对世界的意义被普通公众所了解。”
（一）
笔者认为：提倡通俗数学和应用数学，使数学从数学家们高深的神圣的殿堂中解放出来，使它成为广大群众所能接受的东西，是非常必要的。它丝毫没有否定逻辑数学、抽象数学，没有把高等数学打倒，我们不要产生不必要的误会。
20世纪的数学成就是非常惊人的。然而，一定有不足之处，特别是数论方面，有些停滞不前。费马大定理，让数学家们神魂颠倒了三百多年，这难道不是一件怪事吗？
美国数学家阿尔伯特•H•贝勒教授说：费马的灵魂正在暗中嘲笑，20世纪的凡夫俗子，虽然你们把数学推向了非常高深和复杂的道路，然而你们却仍然是在劳而无功地追寻大师已迷失的足迹。。。。。。
我们把费马大定理的准确定义再次表达如下：
“将一个立方数分为两个立方数，将一个四次幂或一般高于二次幂的数，分为两个同次幂的数，这是不可能的”（重点号是笔者所加）。
费马大定理用数学语言表达出来，应当是：
An+Bn≠Cn  (当n≧3);或者说：
An+Bn=Cn  (当n≧3) 没有整数解。
由此，我们当清楚地看到，费马大定理讲的是正整数，它不涉及分数、小数和无理数等等；我们还将清楚地看到，费马大定理中的n是常量，不是变量，它与函数、曲线以及抽象数学等毫不相干；同时，还要看到一个费马大定理，就是“一个费马大定理”，不允许偷换概念，将它演化成n个费马大定理，并一直推向无限。笔者提出：“无限范畴没有数学”。
如果从n=3、n=4、n=5….到n=100….直到无限；真有那么多个费马大定理，那是亿万年也证明不完的浩大工程，人类已经无法证明它了。费马的灵魂在暗中嘲笑，劝说人们：不要犯傻。
（二）
中国数学家杨 辉（公元十三世纪），字谦光，钱塘人（今杭州），生平不详。其著作留传至今尚有多种。据称：杨辉编著的数学书籍共有五部共二十一卷。
杨辉三角，不是三角学，而是代数学,是用代数式表达的三角图。杨辉三角远离我们已经700多年了。比费马早得多呵！那时的一些古代语言，我们替换一下，用现在的语言来介绍如下：
a                              1               
a+b                          1   1
(a+b)2                      1  2  1
(a+b)3                    1  3  3   1
(a+b)4                  1  4  6   4   1
(a+b)5                1  5  10  10   5   1
(a+b)6               1  6  15  20   15   6   1
……
现在，我们用C来替换左面的表达：
C0                              1               
C1                            1  1
C2                           1  2  1
C3                        1  3  3   1
C4                     1  4   6   4   1
C5                   1  5  10  10   5   1
C6                1  6  15  20   15   6   1
……
这种替换，是数学的一种常用方法，绝不是偷换概念，因为这就是a+b=c、(a+b)2=c2、(a+b)3 、 (a+b)4、 (a+b)5 、 (a+b)6…….的准确表述。
杨辉三角是代数式的一种形象化表示，它非常优美、直观、完整与准确；而且对于提高人们的记忆力有着意想不到的神功。
现解读如下：
C ：      1   1：  即 a+b;
C2：     1   2  1:  即（a+b）2=a2+2ab+b2;
C3:     1   3   3   1:即（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3;
C4：   1.  4.   6.   4.   1：即（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;
C5：  1.  5.  10.  10.   5.   1：即（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;
C6：1.   6.  15.  20.  15.  6.   1 ：即（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6;
……
我们可以直观地看到：若把杨辉三角中大于1的数取走，则
(a+b)2≠a2+b2;
(a+b)3≠a3+b3;
(a+b)4≠a4+b4;
(a+b)5≠a5+b5;
(a+b)6≠a6+b6;
……
我们用C替换表示左面的式子，再掉个头写成：
a2+b2≠c2
a3+b3≠c3
a4+b4≠c4                                   (A)
a5+b5≠c5
a6+b6≠c6
………………
温馨提示：这里没有丝毫偷换概念之嫌，可以还原“替换”，如：
a2+b2≠(a+b)2,
a3+b3≠(a+b)3,
a4+b4≠(a+b)4,                             （B）
a5+b≠(a+b)5,
a6+b6≠(a+b)6,
…………
请大家仔细看好：比较（A）和（B），它们的概念是否一致。
必须指出：事实上，按照费马大定理的概念，即使n=2时，也是a2+b2≠c2。而a2+b2=c2，那是另一个定理即毕达哥拉斯定理（勾股弦定理）的概念。
毕氏定理，众所周知，也不全是都有整数解，而只有在直角三角形三个边长都是正整数的关系中才有整数解。
毕氏定理不属于费马大定理范畴，我们必须“划清界线”。
关于毕氏定理的证明，以及由毕氏定理（勾股弦定理）所形成的三个边长都是正整数的直角三角形，内容非常丰富，请阅读美国数学家阿尔伯特•H•贝勒教授所著《数论妙趣》第14章——《不朽的三角形》。
再次明确指出：费马大定理与毕氏定理是两码事，必须“划清界线”。
于是，我们的结论：an+bn≠cn,(当n>2时),，它的概念就是：“将一个立方数分成两个立方数，将一个四次幂或一般高于二次幂的数，分为两个同次幂的数，这是不可能的。”（为何如此重复，因为让人们能够准确理解费马大定理的定义）。同时，还可表达为：an+bn=cn,(当n>2时),没有整数解。这个概念提醒人们：费马大定理，只是属于正整数范畴的命题。
好了，在此宣告：我用杨辉三角的关系式把费马大定理证毕。
（三）
杨辉三角非常美妙，非常准确，它是(a+b)n展开式的浓缩，是一大堆数学公式的代替表达方式，你可以从杨辉三角中取出任何一排数字，毫不费力地写出它的展开式，如：
（a+b）5=展开式的数字表示：
1、5、10、10、5、1
根据数字写出：
第一步：a+5ab+10ab+10ab+5ab+b;
第二步填写出指数：a按降次幂，b按升次幂；
a5+5a4b+10a3b2+102b3+5ab4+b5;
……
掌握了杨辉三角的基本关系表达式后，就等于记住了一大堆代数公式，不必再去查数学公式表，你把那些公式，刻录进了你大脑的“光盘”了，真奇妙。
掌握了杨辉三角的基本关系表达式后，你还可以把它一步一步推向高端，好比一步一步修建高楼（楼层），例如：
(a+b)6 是：1、6、15、20、15、6、1
(a+b)7 是：1、7、21、35、35、21、7、1
(a+b)8 是：1、8、28、56、70、56、28、8、1
(a+b)9 是：1、9、36、84、126、126、84、36、9、1
(a+b)10 是：1、10、45、120、210、252、210、120、45、10、1
…………还想写下去吗？当然你可以继续写下去，虽然谈不上是“通天”的本领，然而，你已经掌握了建造“杨辉三角”金字塔的数学原理和方法（中华神州的高级神功）。难道不美妙吗？
数学朋友们，中国古数学女王正等待着大家去造访。她随时准备对广大数学爱好者盛情款待。
本文完。（Fino）
易衍文
2009-08-27