用着色法解决四色问题的关键

雷明85639720

用着色法解决四色问题的关键
雷  明
（二○一八年十一月二十七日）

用着色法解决四色问题的关键是化无穷为有穷。
一是要把无穷多的图转化成有穷的不可免的构形。这一点是容易做到的。因为任何平面图中至少含有一个顶点的度是小于等于5的，这就可以把把无穷多的图，用轮沿顶点数小于等于5的五种构形来代替。这一工作早就由坎泊完成了。只要证明了这五种构形是可约的，四色问题也就解决了。构形就是指只除了轮的中心顶点（即待着色顶点）未着色外，其他顶点都已着上了四种颜色之一，且符合相邻顶点不用同一颜色的要求的图。可约就是指待着色顶点能着上图中已用过的四种子颜色之一。
二是要把无穷多的不能用一次或两次简单的对不连通的对角链的交换而空出颜色给待着顶点的H—构形，也要转化成有穷多的不可免的H—构形。这就是找出完备的H—构形的不可免集。所谓H—构形就是坎泊在证明过程中所遗漏了的构形，因为是赫渥特发现的，所以就叫H—构形。相应的把其他的坎泊已证明是可约的轮构形就叫K—构形。所以现在只要证明了H—构形不可免集中的每一种不可免构形都是可约的，四色问题也就得到了解决。
我们已经按图中是否含有A—B环形链和C—D环形链，得到了BAB型H—构形的三种不可免构形，即只有经过5—轮两个轮沿顶点的C—D环形链的H—构形，只有经过5—轮三个轮沿顶点的A—B环形链的H—构形和不含任何环形链的H—构形。
解决这三种不可免的H—构形时的关键，不是象解决K—构形那样，交换的是对角链，构形的类型也不发生变化；而交换的是邻角链，并且构形的类型也是会发生变化的。所谓构形类型发生变化就是指的是构形由H—构形直接转化成K—构形，或者构形的峰点有所改变。
有环形链C—D的H—构形，先交换邻角链A—B，就可使构形由H—构形直接转化成K—构形而可约；有环形链A—B的H—构形，先交换邻角链C—D，也可使构形由H—构形直接转化成K—构形而可约；无任何环形链的H—构形，从两个B色顶点起，交换与其对角顶点的颜色构成的色链（这种对角链也可以视为邻角链，因为对于另一个B色顶点来说，就是邻角链），构形就会由BAB型，转化成DCD型或CDC型，峰点也会由原来的A点，转化为D点或C点。
对于无任何环形链的H—构形来说，从不同的两个B色顶点进行交换，所得结果是不同的。一是可以直接的转化成可以从5—轮的轮沿顶点中连续的移去两个同色D或C的K—构形而可约；另一是先转化成有经过5—轮两个轮沿顶点的环形的A—B链的DCD型或CDC型的H—构形，再接该种H—构形的解决办法去处理，即可变成K—构形而可约。这样的交换我叫它转形交换。
无环形链的H—构形中，还有一种有以A—B链为轴对称的构形，这种构形需要连续的进行三次同方向的转形交换，得到一个既有经过5—轮三个轮沿顶点的环形的C—D链，又有经过5—轮两个轮沿顶点的环形的A—B链的H—构形。用解决哪种H—构形的办法处理，都可以再变成K—构形而可约。这种H—构形的解决办法只是比别的H—构形的交换次数多了两次，总共达到5次。
现在，各H—构形的不可免构形都是可约的了，那么四色问题也就是正确的了。再要说明的一点是，有环形链C—D的H—构形的代表是赫渥特图，有环形链A—B的H—构形的代表是敢峰—米勒图，无任何环形链的H—构形的代表是张域典先生的第八构形，有A—B链为轴对称的无任何环形链的H—构形的代表是1935年一个美国人构造的图。但他们都不是顶点数最少的构形，还有顶点数比其更少的这四种H—构形。

雷  明
二○一八年十一月二十七日于金堆城

注：此文已睛二○一八年十一月二十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：