已知 a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1 ，求证：abc = 1

王守恩

a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1

Future_maths

通分，展开得到：-(abc)^2+2abc-1=0, 所以abc=1.

Future_maths

Future_maths 发表于 2018-12-1 09:41
通分，展开得到：-(abc)^2+2abc-1=0, 所以abc=1.

谁能提供更好的方法？

xfhaoym

当三个分式相等时：a=b=c=1
有1/3+1/3+1/3=1此时abc=1

王守恩

xfhaoym 发表于 2018-12-1 09:44
当三个分式相等时：a=b=c=1
有1/3+1/3+1/3=1此时abc=1

当三个分式相等时：a=b=c=1
有1/3+1/3+1/3=1  此时abc=1
  xfhaoym 的方法很好！我喜欢(希望)这样的方法，下面的题目都可以吗？(主帖是第 1 题)
1，a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
2，a/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
3，b/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
4，b/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
5，c/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
6，c/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1

xfhaoym

a+b+c+.....n>=n(abc....n)^1/n当a=b=c=...=n时它有最小值。

王守恩

Future_maths 发表于 2018-12-1 09:41
通分，展开得到：-(abc)^2+2abc-1=0, 所以abc=1.

通分，展开得到：-(abc)^2+2abc-1=0, 所以abc=1.
5 楼的第 2,3,4,5,6 题不敢确认，但下面的 4 题好像是可以确认的(主帖是第 3 题)。
1，1/(1+a)+1/(1+b) = 1   求证：ab = 1
2，a/(1+a)+b/(1+b) = 1   求证：ab = 1
3，a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
4，a/(1+a+ac)+b/(1+b+ba)+c/(1+c+cb) = 1   求证：abc = 1

王守恩

Future_maths 发表于 2018-12-1 09:42
谁能提供更好的方法？

谁能提供更好的方法？

王守恩

王守恩 发表于 2018-12-1 19:55
谁能提供更好的方法？

留个问题。

a/(1+?)+b/(1+?)+c/(1+?)+d/(1+?) = 1   求证：abcd = 1

EM.field

xfhaoym 发表于 2018-12-1 09:44
当三个分式相等时：a=b=c=1
有1/3+1/3+1/3=1此时abc=1

你这是存在解，不是任意解，所以不能求证