在四面体 A-BCD 中，AB=AC=AD=BC=BD=2，已知四面体外接球的体积 V=8π√2/3 ，求 CD

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

提示：以AB所在直线为x轴，取AB的中点为O，OD所在直线为y轴建立空间直角坐标系，则由条件易有：A（-1，0，0），B（1，0，0），D（0，√3，0）。设C（a，b，c），球心M（x，y，z），则由AC=BC=2易得a=0，由OC=√3易得b＾2+c＾2=3，显然c≠0；又由外接球的体积有球的半径r=√2，所以有下列关系式组：
（x+1）＾2+y＾2+z＾2=2，
（x-1）＾2+y＾2+z＾2=2，
x＾2+（y-b）＾2+（z-c）＾2=2，
x＾2+（y-√3）＾2+z＾2=2。
由这些关系式组解得C（0，1/√3，-2√2/√3），C（0，-1/√3，2√2/√3）。
当C（0，1/√3，-2√2/√3）时，求得CD=2，此时ABCD为棱长是2的正四面体，其外接正方体的棱长为√2，对角线长为√6，即它们共同的外接球的直径长，这与其直径为2√2不符；当C（0，-1/√3，2√2/√3）时，求得CD=2√2。

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解答：

波斯猫猫

质疑，是的，球心确实是CD的中点。但为何首先就知道呢（只能知道球心在某两个平面的交线上）？若是这样，那么在直角三角形BOD中，由BO=√2,BD=2,易得OD=√2，CD=2√2。甚至可以不用球的体积这个条件。

luyuanhong

波斯猫猫 发表于 2018-12-13 07:45
质疑，是的，球心确实是CD的中点。但为何首先就知道呢？若是这样，那么在直角三角形BOD中，由BO=√2,BD=2, ...

我是先通过试算、观察发现了 O 是 CD 的中点。然后想到，可以设法先证明这一点，

证明了 COD 三点共线，下一步再计算就非常容易了，我在第 3 楼中，就是这样做的。

波斯猫猫

另一思路：令空间四点A、B、C、D共球，球心为O，半径为√2。由OA=OC=√2，AC=2，易知OC⊥OA；同理有OC⊥OB，所以OC⊥平面OAB。同理有OD⊥平面OAB。所以O、C、D共线。故空间四点A、B、C、D每三个点确定的面围成四面体ABCD，且CD为外接球的直径，其长显然为2√2。

波斯猫猫

质疑，是的，球心确实是CD的中点。但为何首先就知道呢（只能知道球心在某两个平面的交线上）？若是这样，那么在直角三角形BOD中，由BO=√2,BD=2,易得OD=√2，CD=2√2。甚至可以不用球的体积这个条件。


不能老起半截就质疑，切记！