已知等腰三角形的周长，与三角形内心到外心的距离长度相等，求此三角形的底角

luyuanhong

这是网友 ty161161 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

等腰三角形的周长m，等腰三角形的内心到外心距离长度n，m=n，求底角的度数？

luyuanhong

王守恩

     m=BA + AC + CB = DO(R) + DO(r)=n

sin(x)+sin(x)+sin(2x)=√(0.5^2-(0.5sin(2x))^2)+0.5sin(2x)tan(x/2)

       4sin(x)+2sin(2x)=cos(2x)+sin(2x)tan(x/2)

补充：设∠CBA=x，则BA=AC=sin(x)，CB=sin(2x)，R=0.5(正弦定理)

王守恩

来个复杂一点的？
基本思路：(AB+BD)×2=R-O(r)A
1，三角形ABC，设∠ABC=x，则AB=AC=sin(x)，CB=sin(2x)，根据正弦定理：R=0.5
2，三角形ABD，根据正弦定理：AB/sin(90)=AD/sin(x)=BD/sin(90-x)，AD=(sin(x))^2，BD=sin(x)cos(x)
3，三角形ABD，根据角平分定理：BA/BD=O(r)A/O(r)D得：
O(r)A=AD*AB/(AB+BD)=(sin(x))^2*sin(x)/(sin(x)+sin(x)cos(x))=(sin(x))^2/(1+cos(x))
4，(AB+BD)×2=R-O(r)A，(sin(x)+sin(x)cos(x))×2=0.5-(sin(x))^2/(1+cos(x))

王守恩

王守恩 发表于 2018-12-17 09:26
m=BA + AC + CB = DO(R) + DO(r)=n

sin(x)+sin(x)+sin(2x)=√(0.5^2-(0.5sin(2x))^2)+0.5sin(2x)ta ...

受帖子《已知定角 90°＜α＜180°，定圆 O 内有定点 A ，求作圆 O 的直径 BC ，使得 ∠BAC=α》启发。
主帖也可以这样数述： OA 是定圆 O 的半径，B 是定圆 O 圆周上的一点，满足 BA + BD = OE/2。
D,E是 OA 上的点，其中：BD 垂直 OA，BE 是 ∠ABD 的平分线。