趣味几何－经典重温之垂径定理

ccmmjj · 发表于 2015-4-20 19:17

垂径定理是圆性质的重要定理，但是它的母定理却鲜为人知。如下图：
AB，BC是圆两弦，D是弧AC的中点（设在弧AB上），DE垂直AB于E。那么E点是折线ABC的中点。

ataorj · 发表于 2015-4-21 17:15

如图,CD=AD,△CDE≌△ADF,CE=AF
∠EBD=∠CAD,而∠CAD=∠ABD,所以∠EBD=∠ABD,则△BDE≌△BDF,BE=BF
则CE=CB+BE=CB+BF,又由于CE=AF,则CB+BF=AF,证毕.

luyuanhong · 发表于 2015-4-21 17:46

楼上 ccmmjj 的帖子和 ataorj 的解答很好！

我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj · 发表于 2015-4-21 18:34

娘希匹，解得真不一样。

大傻8888888 · 发表于 2015-4-21 22:16

2l楼的证明其中∠EBD=∠CAD理由不明确。应该是在直角△BDE和直角△BDF中，DE=DF,DB是是公共斜边，所以△BDE≌△BDF，BE=BF。
另外ataorj 的解答和 ccmmjj 的帖子上图形不一致，估计方法也不一样，希望看到 ccmmjj 的解法。

ataorj · 发表于 2015-4-21 23:27

∠EBD=∠CAD是因为圆内接四边形的对角和为180°,其外周[?]角∠EBD必然等于相应内角∠CAD[因为它们和∠CBD的和都=180°]
而∠CAD=∠ABD是因为它们都是同一圆上的圆周角且对应的弦CD,AD相等.
=============
和楼主比,我不过是弧AC没使用劣[?]弧而已,优[?]弧原理是一样的.[我使用的是可动态的数学软件,很易于观察到].另外楼主的"E"对应我的"F",这个我忘记和楼主保持一致了.

另外,垂径定理和本主题的关系,我也想知道.

ataorj · 发表于 2015-4-21 23:34

补充:是同一圆上的同时是锐[或钝或90°]的圆周角

ataorj · 发表于 2015-4-22 00:34

撤销这句话:
另外,垂径定理和本主题的关系,我也想知道.
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垂径定理是本主题的特例?B,C重合?

ccmmjj · 发表于 2015-4-22 00:58

ataorj 发表于 2015-4-21 16:34
撤销这句话:
另外,垂径定理和本主题的关系,我也想知道.
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是啊，这是更一般的定理。你的证明没有问题，只是用图及字母有所不同。

elim · 发表于 2015-4-22 08:16

ccmmjj 发表于 2015-4-21 09:58
是啊，这是更一般的定理。你的证明没有问题，只是用图及字母有所不同。

ataorj 的证明很好，下面是更换字母后的情况：

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