芝诺悖论挑战实数连续性

门外汉

    给出1个实数区间[0，1]，将其二等分，去除左面的那半部分，保留右面的那半部分，然后将剩余的那段区间再二等分，去除左面的那半部分，保留右面的那半部分，不断的重复这一操作，区间的长度会越来越短，无限的趋近于0.
     问：能不能使得该区间最后只剩下1这么1个唯一的点？即：使区间的长度为0.
     答案是：不能，因为：无论如何将区间二等分，抛除左面的那个区间，所余下来的区间总有无穷多个点，既然有无穷多个点，那么就不能用一分为二的方法将区间分割得只剩下一点。也就是不能使得区间的长度为0.
     如果真的能够将区间分割得只剩下一个点，那么就会存在这样的一种情况：存在一个区间，该区间只有两个点[x，1]，抛除左面的那个点x，最后只剩下1这个唯一的点。
     但如果是这样的话，就说明在数轴上存在着相邻的点，与实数的连续性（稠密性）相矛盾。
     所以，从以上的推论中来看，要么是芝诺的二分法悖论成立，要么是实数的连续性是错误的。

jzkyllcjl

无穷是无有穷尽的，芝诺的二分法不能进行到底；对此，亚里斯多德早就提出反对实无穷的潜无穷观点。

jzkyllcjl

无穷是无有穷尽的，芝诺的二分法不能进行到底；对此，亚里斯多德早就提出反对实无穷的潜无穷观点。

elim

什么是芝诺二分法悖论没有陈述，所以主贴的推理，立论含糊。

经过第 n 次二分截取，所得区间是 [1-1/2^n, 1], 其长度是 1/2^n, 仍有无穷多点。所以任何有限次截取都不会'分离' 出 1.

然而当人们说到把这个截取过程推向无穷，理解上就有分歧了。无穷过程不是某个有限环节的后一步，所以弄出 {x,1} 这种结果是没有根据的。

无穷作为对有限的超越，不可能是有限操作性的，只能是逻辑上的。所以精确地表达这个‘无限截取’的结果只能是 ∩[1-1/2^n, 1], 即一切有限截取结果的交集。而这个交集毫不含糊地就是 {1}. 所以没有什么矛盾可言。

jzkyllcjl 强调无穷没有有限操作性没有错，他的浅薄在于否定无限操作在适当条件下还是可以有确定的结果的。例如 [0,1] 作为无穷点集就是确定的因而是可以考虑基数的。否定这点使他进入到主观唯心的泥坑。使他的“理论”成为无聊拙劣的胡扯，除了自相矛盾，没有任何价值。

jzkyllcjl

elim 发表于 2015-4-21 16:05
什么是芝诺二分法悖论没有陈述，所以主贴的推理，立论含糊。

经过第 n 次二分截取，所得区间是 [1-1/2^n ...

你说：“｛1｝是一切有限截取结果的交集”是可以的，但这是一个无限过程的结果，是理想性质的。
你说：“[0,1] 作为无穷点集就是确定的”也是对的，但这个点集具有理想性，它是一个无穷集合。无穷集合不能用一一对应的方法去比较它们的元素个数的多少，因而无穷基数是不能提出的。我的理论不是矛盾百出，它不仅消除了连续统假设的大难题，而且消除了三分律反例，建立了实数的四则运算法则。

elim

jzkyllcjl 发表于 2015-4-21 17:14
你说：“｛1｝是一切有限截取结果的交集”是可以的，但这是一个无限过程的结果，是理想性质的。
你说 ...

jzkyllcjl 又错了： 你举出一样不是理想性质的数学对象给大家看看？ 在数学中居然还巴望非理想性，畜生不如。

你不仅畜生不如，还要大大地畜生不如地污蔑祖宗不会四则运算，有什么好吹的？

门外汉

elim 发表于 2015-4-21 16:05
什么是芝诺二分法悖论没有陈述，所以主贴的推理，立论含糊。

经过第 n 次二分截取，所得区间是 [1-1/2^n ...

请问elim老师，怎么样证明：”无限截取’的结果只能是 ∩[1-1/2^n, 1], 即一切有限截取结果的交集。而这个交集毫不含糊地就是 {1}. “？

elim

无限截取的结果是每一个形如 [1-1/2^n, 1] 的区间的子集，所以是这些区间的交集的子集，这个交集显然含 1 但不含比 1 大或小的任何数， 所以这个交集就是 {1}. 注意 1 被任何截取所保留，所以这个交集 {1} 就是无限截取的结果。

门外汉

elim 发表于 2015-4-22 03:36
无限截取的结果是每一个形如 [1-1/2^n, 1] 的区间的子集，所以是这些区间的交集的子集，这个交集显然含 1  ...

同意这个说法，但我的主帖中要问的问题是：怎样用一分为二的方法将含有无穷多个点的区间分割得最后只剩下一个点？
显然，这个问题是不能用“一分为二”的方法做到的。

elim

门外汉 发表于 2015-4-21 20:44
同意这个说法，但我的主帖中要问的问题是：怎样用一分为二的方法将含有无穷多个点的区间分割得最后只剩下 ...

单点不能通过有限次二分截取一个区间得到。但是可以用无穷次二分截取得到。不论有限无限次截取，都是理论上才能名副其实的实现。我要说的是，不论如何，芝诺的东西不再能对现代数学分析构成任何威胁了。