用欧拉公式直接求地图的染色数

雷明85639720

用欧拉公式直接求地图的染色数
雷  明
（二○一五年四月二十九日）

设在某亏格为n的曲面上有一个γ色的地图，按坎泊的思想，那么就应该存在一个“国数最小的”γ色地图。那么这个“国数最小的”地图中也就应有γ个“国家”。
设这个“国数最小的”地图中的区域数（即“国数”）为f，每一个区域都与别的f－1个区域相邻，每一个区域都有f－1条边界线，f个区域的总共有f（f－1）条边界线。因为每条边界线都是两个区域所共有的，而在这f（f－1）条边界线中每条边界线都是计算了两次的，则这个地图中的“边界线”的总条数即边数应是e＝f（f－1）/2。又因为地图是一个3—正则图，即每一个顶点都连着3条边，即所谓的“三界点”，所以该地图的总边数也可以写成e＝3v/2，从而有3v＝2e＝f（f－1）的关系。用区域数（即面数）f来表示顶点数v和边数e，则有v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2。
如果直接把v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2代入到亏格为n＝0的平面图的欧拉公式v＋f－e＝2中，就可以得到
f2－7f＋12＝0
解这个关于f的一元二次方程得两正根分别是
        f＝4和f＝3
取大值f＝4。这里也只有等式部分。因为两两均相邻的4 个区堿染色时必须用四种颜色，所以也有γ＝f＝4。
这里的f＝4就是平面或球面上色数小于等于4的两两均相邻的“国数最小的”地图中的“国数”最大者，这个地图染色时必须用与其区域数相同数目的颜色。若从这个“国数最小的”地图中去掉一条边，或者去掉一个“三界点”顶点及其所连的3条边，该地图中的区域数就都会减少。这个“国数最小的”地图原来是一个区域染一种颜色，那么现在区域数少了，所用的颜色数也就会减少下来。所以上式还可以再增加“不等式部分”，即
    γ＝f≤4
这就是地图四色猜测。这也就证明了地图四色猜测是正确的。
           
雷  明
二○一五年四月二十九日于长安