徐俊杰先生的《数学四色问题证明》一书中所引用的Tait定理是：“四色问题成立，当且仅当每一个三次平面图都是三边着色的。”这里的三次平面图实际上就是地图，因为地图中的每一个顶点的度都是3，所以这里实际上说的也就是3—正则图。现在我们把三次平面图变动一下，把它的各边作为新的顶点，把属于同一个面的边界的、且相邻的边所形成的新顶点用边连接起来。这样所得到的新图就三次平面图的线图（严格来说应该叫线对偶图，因为3—正则图的线对偶图与其线图是完全相同的，所以这里才说是线图。该图中的顶点数等于原图中的边数，面数等于原图中的顶点数与其面数的和。其中三边形面数一定大于等于原图的顶点数（因为原图的顶点在线对偶图中表现的是三边形面），其余的面则等于原图的面数）。
三次平面图的线图的密度（即图中最大团的顶点数）一定是3，因为原三次平面图的顶点度最大只是3，在其线图中对应的面就是一个三边形，也是一个K3团，其他的面则都是大于等于4的多边形，其中只有K2团。K3团有三个顶点，其密度是3，所以三次平面图的线图的密度也是3。该线图是一个各顶点的度都是四次平面图，因为原图中的每一条边都是两个面的边界线，又都连接着该两个面的两条边。该图中也没有轮出现。现在看，给三次平面图的边着色就变成了给其线图（密度是3的4—正则图）的顶点着色了。这个线图中最小的面是三边形（图密度也是3），顶点着色时必须用三种颜色；其他的面都是边数大于等于5 的奇圈，着色时也必须用三种颜色。由于该图中没有轮出现，所以也不存在奇轮中心顶点必须着第四种颜色的可能性。所以说，这样的图——密度是3的4正则图——的色数是3，即是3—可着色的，也说明了三次平面图也是3—边着色的。
但每一个三次平面图虽是3—边着色的，又与四色猜测有什么关系呢，它能说明四色猜测就是正确的吗。我们仍回到三次平面图的线图上来，这只是一个密度是3的4—正则图，是一个“个别”的“特殊”的而并不是“任意”的平面图。该图只是平面图集合中的一个子集合，是不能代表所有的平面图的。所以说仅管每一个三次平面图都是3—边着色的，并不能说明四色猜测就是正确的。
我认为所谓的Tait“定理”只能是一个猜想而已，还不能成为定理，更不能去直接使用它。我对该猜想“四色问题成立，当且仅当每一个三次平面图都是三边着色的。”的理解是：只有在每一个三次平面图都是3—边着色的条件下，四色问题才是成立的。的确，上面我们已经证明了每一个三次平面图都是3—边着色的，它的线图顶点着色的色数也是3，都不大于4。因为3≯4，所以，对于这一类图来说，四色问题当然是成立的。也仅就此一类图来说，Tait的猜想才是成立的。而不能认为是对于任意的平面图来说，四色猜测都是成立的。
对于有人（87654321）说的“‘若命题 A 成立，当且仅当，命题 B 也成立’，也就是‘命题 A 成立的充分必要条件，是命题 B 也成立’。它是指：若 A 成立则 B 成立，反之，若 B 成立则 A 也成立！”这种说法，我有不同的看法。“若命题 A 成立，当且仅当，命题 B 也成立”一句中，我倒认为命题B成立的必要充分条件是A，而不是“命题 A 成立的充分必要条件，是命题 B 也成立”。上面我们对三次平面图是3—边着色的证明就说明了这一点。我还认为87654321说的“若 A 成立则 B 成立，反之，若 B 成立则 A 也成立！”的这种说法也不妥。若把A 看成是四色猜测，把B看成是三次平面图是3—边着色的，则只有A （四色猜测）成立时，B（三次平面图是3—边着色的）也成立，而当B（三次平面图是3—边着的）成立时，则不能说明A（四色猜测）对于任意的平面图都一定成立。以上的证明就已经说明了这一点。如果说把“若命题 A 成立，当且仅当，命题 B 也成立”可以理解成“若 A 成立则 B 成立，反之，若 B 成立则 A 也成立！”时，并且你在这里也将其当成一种现成的“定理”来使用，那么即有B（三次平面图是3—边着色的）成立则 A （四色猜测）也就成立。那么你还去证明A（四色猜测）是否正确是干什么呢。没有事干了吗。其实这时四色猜测已经是成立的了，就不需要再进行证明了。那么你现在还在对四色猜测进行证明不是在做着无用功吗，四色猜测还需要再进行证明吗。
在数学书籍中象“若命题 A 成立，当且仅当，命题 B 也成立”这样的话多得很，可以说到处都是，很可能都是犯了一个通病。我不明白为什么一定要把在对全集A成立时，对子集合B也成立的命题，说成是“若命题 A 成立，当且仅当，命题 B 也成立”且“命题 A 成立的充分必要条件，是命题 B 也成立”呢。难道B不成立，就不能证明A 能成立吗。按你的说法“若 A 成立则 B 成立，反之，若 B 成立则 A 也成立！”，那么你现在已经证明了三次平面图都是3—边着色B成立，这不也说明了四色问题A也是能成立的吗，你现在还在努力的想办法证明四色猜测是否正确是干什么呢，没有事干了吗。
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发表于 2015-4-30 10:59
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