二评华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》 ——刘徽的数学观 倪则均，2015年5月2日。

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1，刘徽的《九章算术注》。
我在《《孙子算经》与“孙子定理”问题》中已经指出：“乾隆年间的戴震在参与编撰《四库全书》时，……所掀起的那股“吹毛求疵”的歪风，硬是将《周髀算经》从西周刮到了西汉，将《九章算术》从东周刮到了东汉，更是将战国初期的《孙子算经》，一直刮到了更晚的南北朝时期。”
如果说《孙子算经》，是举世最早的一本个人数学专著，属于道家，促使了我国古代数学的突飞猛进。那么《九章算术》则是举世最早的一部，完全为数学内容的集成，其中夹杂了一些儒家的东西，它们都是中国数学到达第一个巅峰的代表，也是春秋战国时期百家争鸣的产物，代表了东方数学的最高成就。
我国三国时期的刘徽，在他的《九章算术注•原序》中指出：“往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍，大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，名称删补，故校其目则与古或异，而所论者多近语也”。由此可见，《九章算术》应该成书于秦代之前，耿寿昌则应该是整理、增补《九章算术》的最后一人。
然而，今人曾海龙却说：“……，由秦收集起来的数学题简，经张苍、桑弘羊和许商等秦汉时的学者不断补充、整理，经200多年，逐渐成为比较完善的官书，到王莽统治时定型，由当时著名学者刘歆进一步整理、分类，形成我们今天所见到的定本。”曾海龙的如此说法，无非是想迎合戴震的那股歪风，仍然要将《九章算术》的成书年代，从东周刮到东汉。
其实，刘徽对于《九章算术》，不仅首次作了注释，而且也曾做过增补。刘徽或许认为东汉郑玄所言的九数为：方田、粟米、重差、少广、商功、均输、方程、赢不足、勾股。与《九章算术》现有的九章：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、方程、赢不足、勾股比较，似乎少了一章“重差”，多了一章“衰分”。于是他特意另外编撰一章“重差”，附置在第九章“勾股”的后面，从而使《九章算术》由九章变成了十章。
唐初的李淳风按照唐高宗李世民的诏令，对我国古代的算经全部重作注释，使之成为国家最高学府——国子监明算科的标准教课书。显然，李淳风认为将《九章算术》由九章变成了十章是不对的，于是断然将“重差”从《九章算术》分离出去，命名为《海岛算经》。《海岛算经》将《九章算术》原有的测望术，由两次发展为三、四次，推广了《周髀算经》的测日法。刘徽自己认为，这使原已失传的“重差术”得到了复原，并且予以了发展。
历史上许多人都对《九章算术》作过注释，其中最为卓越的当数刘徽。数史学家李迪认为，刘徽不仅是中国传统数学知识及成果的继承者和创造者，同时也是中国传统数学理论的奠基者。他既注意搜集别人的研究成果，又十分善于独立思考，获得了许多发现与创造，他的《九章算术注》和《海岛算经》，标志着中国传统数学，完成了由感性向理性、由或然性向必然性的升华。刘徽在数学上的建树颇丰，几乎涉及到中国古代数学的各个方面。
2，刘徽其人及其数学思想。
如果说刘徽的《九章算术注》，再一次激发了我国古代数学的活力，促使中国数学迅速进入了第二个鼎盛时期，那么祖冲之的圆周率，则是这个鼎盛时期的标志。由于祖冲之的《缀术》早就失传，大家一直不知道祖冲之的“3.1415926＜π＜3.1415927”是如何得到的。为此我专门写了一篇“祖冲之的圆周率是如何得到的？”文章予以探索。由于祖冲之一生当官，所以他的生平质料十分丰富，《缀术》失传的原因，显然是由于其内容的问题。
刘徽的情况正好相反，他的《九章算术注》却完好的保留至今，但是他的生平几乎毫无史料记载，现在我们只知道，宋徽宗大观三年，刘徽曾被追封为“淄乡侯”，因此，刘徽可能是山东淄川或临淄一带人。这样的推断应该是可信的，因为山东的齐国就是中国数学的发祥地，《孙子算经》作者孙武也是齐国人。现在的问题是当时的刘徽到底会具有何等身份地位，当然他不可能真的做过“淄乡侯”，根据上篇文章的分析，刘徽应该是那时的一个经济实力十分雄厚的庄园主，否则他就不可能有那么的时间去研究数学，更不可能有那么多的钱去刻版发行他的《九章算术注》了。
刘徽在他的《九章算术注•原序》里说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采之所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干同者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”刘徽不仅对《九章算术》的原本内容，作出了系统的整理，深入的阐发，而且还由此引申创造出一些新的数学方法，如割圆术、刘祖原理和十进分数等。刘徽的这种数学思想，就是典型的我国传统的运筹归纳思维模式。
刘徽是研究中国数学思想的第一人，他在《九章算术注》里认为，分门别类各个击破是九章算术的基本思想，但是，如果能把整个九章算术看作是一个有机的整体，努力探索其各个部分之间的联系，这是一种更高的思想境界。这样的数学思想，与我国中医的辨证论治思想是完全一致的，因此笔者觉得将我国的数学思想，称之为运筹归纳思维模式比较合适。运筹是从整体的宏观去探索各个部分之间的数理关系，归纳则是从微观的角度去研究解决各类数学问题的具体算法。
我国的运筹归纳思维模式，是一种渐进型的数学思维模式，他与西方开拓型的逻辑演绎思维模式，各有所长，也各有所短，双方都该相互取长补短才对。当然，绝对不能搞出取人之短，抑己之长的笑话。今天我们的人类社会，已经进入了电子计算机时代，因此我们的思维模式似乎更具优势。这几年笔者在多个领域，都取得了许多重大的突破，这完全是我忠实的传承了，我们祖先的数学思想。
3，刘徽割圆的一波三折。
刘徽大约花了近三千字，详细的论述了他的“割圆术”，这是他的“齐同术”、“今有术”、“割补术”、“棊验术”等诸术，所不能与之比拟的。刘徽的“割圆术”可以分为三个部分，第一个部分是在半径为1的单位圆里，从其内接正六边形的面积3开始，依次逐步推算得到正十二边形，正二十四边形，正四十八边形，正九十六边形，正一百九十二边形的面积等于3．141024之后，就无法运用算筹再继续逐步推算下去了。
因为他如果要想保持八位数的精确，就得对九位以上的数作运算，因此其每一步的筹算都是极其困难，特别是对于其中的开方运算更其艰难。当然，刘徽是不会甘心就此为止的，可以说他使出了所有的招数，全部的看家本领要想找到一条捷径，可以迅速得到精确度更高的圆周率。估计他必定会在下表里的面积差，及其面积差率上大做文章。因为失传已久的“重差”，是刘徽将它重新挖掘出来的，“率”则是刘徽的独创。
n（边数）        Sn（面积）                Δn=S2n-Sn(面积差)                 δn=Δn/Δ2n（差率）
12                        3                                0.10+364/62500                        3.95
24                        3.10+364/62500        0.02+425/62500                        3.99
48                        3.13+164/62500     0.00+420/62500                         4.00
96                        3.13+584/62500     0.00+105/62500       
192                        3.14+64/62500               
刘徽不会不知道如果将此表里的S192=3.14+64/62500，加以△96=105/62500，那么所得之3.14+169/62500，必定已经大于单位圆的面积，因为S192+△96=S96+2△96，而2△96显然是由96个小长方形所构成的一个环。由此刘徽立即意识到，必须先对△96=105/62500予以校正，尔后才能再作相加。那么又该如何校正呢？他首先应该想到的是，由他自己所开创的功能极为强大的“率”算法，所以刘徽说：“以十二觚之幂为率消息”。由于上表中“率”数列δn是一个递增数列，刘徽觉得如果取其中最小率δ12=3.95作下面的组合后，再加到S192=3.14+64/62500里去，或许可以得到一个更高边次的内接正多边形的面积。
Sx=S192+105÷[62500×（3.95－1）]=3.14+64/62500+35.59322034/62500
对于此式来说，只要改35.59322034/62500为36/62500，即可将Sx简洁表示为3.1416。至于3.1416是不是最精确的圆周率，刘徽知道还必须作进一步的验证。至于他是否真的咬紧牙关，一直逐级演算到S3072为此，好象并没有充分的依据。如果刘徽真的作了验算，他就不会不知道下表里的这些数据。
n（边数）        Sn（面积）                   Δn=S2n-Sn(面积差)                         δn=Δn/Δ2n（差率）
384                        3.141557608                   0.000105136                                 4.00
768                        3.141583892                   0.000026284                                 4.00
1536                3.141590463                    0.000006571       
3072                3.141592106               

只要根据这些数据，刘徽不会不知道：S3072+△1536=3.141592106+0.000006571=3.141598677，“则出于圆之表矣”，3.1416岂不是出于圆之表更甚。

红树

3.1415926~31415927值也不一定可靠

红树

已知：圆P，直径AB垂直CD，EF和CD相交于G点，AE=EP，EG=FG
求证：AB÷EF=?，∠BEF=?