四评华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》 ——祖冲之的辉煌 倪则均，2015年5月18日。

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1，比对刘徽的算理算法。
有人说祖冲之父子的《缀术》是对刘徽的《九章算术注》的注，这是不对的，因为《南齐书•祖冲之传》上说得很明白，祖冲之曾“注九章，造《缀术》数十篇”，由此可见，祖冲之的注九章与造《缀术》，是完全不同的两回事，两者根本不能混为一谈。当然这种说法也充分说明了，祖冲之对于刘徽的《九章算术注》，确实作过深入研究，认识到其中所涉及到的所有的数学问题，首先归纳成数量关系和几何图形两个大类。然后再运用“勾股”的“重差”算法，将整个《九章算术》融合成为一个统一的有机整体。
对于数量关系，刘徽创造了“率”的概念，刘徽的“率”是一个“纲”，是一个总算法，其它种种的算法均为“目”，只要“纲”举即可“目”张，这样的数学理论对于中国算法来说，具有里程碑的意义。特别需要注意的是，刘徽的“率”不是简单的比例的概念，例如在行程问题上，“行率”就不同于速度，因为“行率”是具有方向性的。
对于几何图形，刘徽创新了商高的“出入相补”方法。刘徽不仅将商高的“出入相补”，从一般的平面图形推广到了特殊的立体图形，并且还把这种方法，由直线图形引申到了曲线图形。这种将曲线图形变化为直线图形予以计算，不能不说这是人类数学史上的一次大飞跃，因为这必然要涉及到极限、逼近、无穷小量等现代数学的概念。
刘徽在他的《九章算术注》的序文里，几乎花了一半的篇幅，着重论述了为什么要将“重差”算法，补充在勾股章之后的原因所在。因为只有“勾股”与“重差”联合，才能解决数量关系和几何图形之间的融合问题。然而，李淳风在重新注释十部算书时，硬是将《海岛算经》，从《九章算术注》里分割了出去，不仅破坏了《九章算术注》的完整，同时也使《海岛算经》显得有些没头没脑。“重差”是一种反复取差的算法，这种算法可能在汉代已经失传，被刘徽重新挖掘了出来。此后这种算法，在我国古代数学里，一直占有极其重要的位置。以后所发展得到的“差分术”，与西方的“微分法”，具有完全相同的概念，只是“差分术”属于离散数学，“微分法”属于连续数学而已。
刘徽数学思想的核心之一是：“事类相推，各有攸归。故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。”这就是说，所有的数学对象，总可以归并为若干个类型，只要掌握了某些基本关系与方法后，就可以引而伸之，触类旁通。因此，各种数学方法和理论，虽然形式多样，但它们之间是有联系的，犹如一株枝繁叶茂的大树，尽管分成不同的枝条，却有着同一个主干，发生于同一个根源。
2，祖冲之的跳跃割圆。
如果说祖冲之是我国古代最杰出的算法专家，那么就应该说刘徽是我国古代最卓越的算理大师。至于祖冲之是否已将刘徽的算理，彻底领悟了其中的真谛，真正发挥得出神入化，完全到达了“青出于蓝而胜于蓝”的境地，还是“武松景阳岗打虎”纯属大胆探索偶然巧遇，大家只要看看祖冲之的跳跃割圆就知道了。尽管祖冲之在算出正192边形的面积之后，同样也无法运用算筹再继续运算下去，然而他却真正找到了可以解决问题的有效办法。
祖冲之认识到刘徽校正△96=105/62500的想法是对的，但是具体的做法却错了，他发现只能采用最大差率δ48= 4去予以校正，不能运用最小差率δ12=3.95去予以校正。因为跳跃面积t1 S192= S192+△96/（4-1）= S96+4△96/3=3.141584，相当于S768=3.141583892的结果，所以，这是一种不用先算出S384=3.141557608的跳跃割圆。祖冲之显然已经知道，跳跃割圆具有下面二大极其珍贵的长处。
第一是跳跃割圆避免了复杂的开方运算，解决了筹算的最大困难。第二是跳跃割圆是不用再作验算的，若要验算，还有什么跳跃可言！其实，t1 S192= S96+4△96/3意味着在正96边形的每一条边上，都用一条二次抛物线围出一个曲面来。显然祖冲之已经知道，一个弓形里的二次抛物线，是不可能越出这个弓形的，因此可以不作验算。显然祖冲之已经知道，只有二次抛物线所围出一个曲面，才能采用四则常规运算得到。当然，跳跃割圆要在逐步割圆的基础进行，下表是最初五个逐步割圆的一级跳跃。
n（边数）        t1Sn（面积）            t1Δn= t1S2n-t1Sn(面积差)              t1δn= t1Δn/ t1Δ2n（差率）
24                       3.141104712             0.000457258                              15.89743768
48                       3.14156197             0.000028763                              15.9705719
96                       3.141590733             0.000001801       
192                       3.141592534               
由于尚未达到要求，所以还要再作二级跳跃。显然，二级跳跃的校正因子应该取：t1δn=16，于是还要经过二级跳跃割圆后才能达到要求：
t2S48=3.141592454，t2S96=3.141592651，t2S192=3.141592654。
3，费马级最佳逼近。
为什么一级跳跃校正因子为2^21？二级跳跃校正因子为2^22？那么是不是n级跳跃校正因子为2^2n？答案应该是肯定。在一个单位圆里，如果其内接正n边形的边长为2a0，边弓上的矢高为r0，则有a02=r0（2-r0）。那么同样可设其内接正2n边形的边长为2a1，边弓上的矢高为r1，而有a12=r1（2-r1）。于是就有a02/a12=r0（2-r0）/ r1（2-r1）＜4，得到2（4r1-r0）+（r02-4r12）＞0。这个不等式提供了下面三条重要信息：
第一，只有当r0=3r1时，这个不等式的两项才能都为正数。此时只有r0为一个内接正三边形的高，r1为其边上的矢高一种情况。
第二，当r0=2r1时，这个不等式的后项为0。此时只有r0为一个内接正四边形半个对角线，r1为内接正三边形边上的矢高一种情况，但是它们之间不具倍数关系。我国宋末元初时的赵友钦首创了，由内接正四边形所开始的不断二分割圆方法，得到了与祖冲之相同的结果。
第三，当r0=4r1时，这个不等式的前项为0，此时则有a02/a12=r0（2-r0）/ r1（2-r1）=4（2-4r1）/（2-r1）。这个等式成立的条件是a0=2a1，并且r1=0，显然这种情况意味着，它们全都缩小成了圆周上的一个点。由此可见，r0与r1之间的关系只能是3 r1＜r0＜4 r1。由此即可得到：
（4-1）（S4n-S2n）＜S2n-Sn＜4（S4n-S2n）
对于前边的不等式来说，又可以将其表示为：S4n-S2n＜△n/3。若要将这个不等式变为等式，就必须加大被减数S4n的面积。如果令t1 S2n=△n/3，即可得到下面的一级跳跃割圆公式：
t1 S2n=S2n+△n/3=Sn+4△n/3
只要按照上面类似的方法，应该不难证明二级跳跃的校正因子为2^22，n级跳跃校正因子为2^2n。祖冲之的跳跃割圆方法，应该属于今天数学里的外推法，但是它的逼近速度远远超过其它所有的外推法。如果说其它外推法的逼近速度是几何级的，那么跳跃割圆方法的逼近速度则是费马级的，几何级是平方关系，而费马级则是2n方次的关系。
所谓的外推法是指一个递减数列，如果其和能无限逼近一个极限，但是其逼近的速度却是极其缓慢，然而，我们却无法通过其它的数学方法来直接得到这个极限，那么我们就可以首先计算出几个精确度较低的初始值，然后对它们不断地进行加工处理，使得它们的精确度变得越来越高。由于对于非单位圆（半径不等于1），同样可以实施祖冲之的跳跃割圆方法，因此，只要将一切数列的极限，全都看作是一个非单位圆，即可对其实施祖冲之的跳跃割圆方法。这就是说，祖冲之的跳跃割圆方法，具有极其广泛的实际应用范围。
王能超写了一本《千年绝技割圆术》，写得非常好，此书的最后部分，也运用了这个祖冲之的跳跃割圆方法，试图根据菲根鲍姆所提供的最初的几个倍增周期分叉点，加工得到所谓的菲根鲍姆常数，然而，由于菲根鲍姆所提供的最初的几个倍增周期分叉点，全部都是错的，因此，最后所得到的菲根鲍姆常数，当然也是错的。
逼近问题，是《从杨辉三角谈起》的画蛇添足的结尾，也是《从祖冲之的圆周率谈起》里，所贩卖的主要内容，这些货色的品位级别到底如何，当然需要予以检验。特别是其中是否隐藏着什么假冒伪劣商品，尤其是那些专门毒害人们思想认识的东西，当然更是必须予以暴光才行，免得大家再去上当受骗。