原創 致敬笛卡爾

shuxuestar

解y的偶数次四次方程：
16*(k^4-2*k^2+1)*y^4
+
8* ((4*k^4-8*k^2+4)*x^2+(4*c*k^4-4*c)*x+c^2*k^4+((-2*c^2)-4*L^2)*k^2+c^2-4*L^2)*y^2
+
16*(k^4-2*k^2+1)*x^4
+
16*(2*c*k^4-2*c)*x^3
+
8*(3*c^2*k^4+(2*c^2-4*L^2)*k^2+3*c^2-4*L^2)*x^2
+
8* (c^3*k^4-4*L^2*c*k^2-c^3+4*L^2*c)*x
+
(c^4*k^4+((-2*c^4)-8*L^2*c^2)*k^2+c^4-8*L^2*c^2+16*L^4)
=0;

简化为：
16*(k^2-1)^2*y^4+8*(4*(k^2-1)^2*x^2+4*c*(k^4-1)*x+c^2*k^4+(-2*c^2-4*L^2)*k^2+c^2-4*L^2)*y^2
+16*(k^2-1)^2*x^4+32*c*(k^4-1)*x^3+8*(3*c^2*(k^4+1)+2*(c^2-2*L^2)*k^2-4*L^2)*x^2+
8*c*(k-1)^2*(c^2*(k^2+1)-4*L^2)*x+((c*k-c)^2-4*L^2)*((c*k+c)^2-4*L^2)=0;


非常郁闷 这个式子简化了再简化还是超过了计算机计算能力 ...... 准备再算一个焦点在原点的方程（曲线形状不变）

预期将大大简化方程..................

shuxuestar

左焦点在原点在x向上笛卡尔卵形线方程为：

k√(x^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=L (k变换r' 方程形式及意义不变故只有一种)

k*sqrt(x^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=L;

简化：

k*sqrt(x^2+y^2)=L-sqrt((x-c)^2+y^2);

(k*sqrt(x^2+y^2))^2=(L-sqrt((x-c)^2+y^2))^2;

(k*sqrt(x^2+y^2))^2-(L-sqrt((x-c)^2+y^2))^2=0;

2*L*sqrt(y^2+x^2-2*c*x+c^2)+(k^2-1)*y^2+(k^2-1)*x^2+2*c*x-c^2-L^2=0;

(2*L*sqrt(y^2+x^2-2*c*x+c^2))^2=(-((k^2-1)*y^2+(k^2-1)*x^2+2*c*x-c^2-L^2))^2；

(2*L*sqrt(y^2+x^2-2*c*x+c^2))^2-(-((k^2-1)*y^2+(k^2-1)*x^2+2*c*x-c^2-L^2))^2=0;

得偶次数y四次方程:

((-k^4)+2*k^2-1)*y^4
+
(((-2*k^4)+4*k^2-2)*x^2+(4*c-4*c*k^2)*x+(2*c^2+2*L^2)*k^2-2*c^2+2*L^2)*y^2
+
((-k^4)+2*k^2-1)*x^4+(4*c-4*c*k^2)*x^3+((2*c^2+2*L^2)*k^2-6*c^2+2*L^2)*x^2+(4*c^3-4*L^2*c)*x-c^4+2*L^2*c^2-L^4
=0;

比前面对称式简化不少...

shuxuestar

简化：

((-k^4)+2*k^2-1)*y^4
+
(((-2*k^4)+4*k^2-2)*x^2+(4*c-4*c*k^2)*x+(2*c^2+2*L^2)*k^2-2*c^2+2*L^2)*y^2
+
((-k^4)+2*k^2-1)*x^4+(4*c-4*c*k^2)*x^3+((2*c^2+2*L^2)*k^2-6*c^2+2*L^2)*x^2+(4*c^3-4*L^2*c)*x-c^4+2*L^2*c^2-L^4
=0;


-(k^2-1)^2*y^4
-
2*( (k^4-2*k^2+1)*x^2+(2*c*k^2-2*c)*x+((-c^2)-L^2)*k^2+c^2-L^2 )*y^2
+
(-(k^2-1)^2)*x^4+4*c*(1-k^2)*x^3+((2*c^2+2*L^2)*k^2-6*c^2+2*L^2)*x^2+4*c*(c^2-L^2)*x-(L^2-c^2)^2
=0;


(k^2-1)^2*y^4
+
2*( (k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2 )*y^2
+
(k^2-1)^2*x^4+4*c*(k^2-1)*x^3-2*((c^2+L^2)*k^2-3*c^2+L^2 )*x^2-4*c*(c^2-L^2)*x+(L^2-c^2)^2
=0;

代入计算机求解............

y1 = -sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

y2 = sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

y3= -sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

y4 = sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)


总算解出来了 迪卡尔方程的解是非常艰难的 （数学书中没有给出 ）这个解就可以应用了..............

shuxuestar

k*sqrt(x^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=L；
当y=0，+-k*x+-(x-c)=L;
x1 = (c+L)/(k+1);
x2 = -(c-L)/(k-1);
x3 = (c-L)/(k+1);
x4 = -(c+L)/(k-1).

计算机验证：
(k^2-1)^2*y^4+2*((k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2)*y^2+(k^2-1)^2*x^4+4*c*(k^2-1)*x^3-2*((c^2+L^2)*k^2-3*c^2+L^2)*x^2-4*c*(c^2-L^2)*x+(L^2-c^2)^2[x=(c+L)/(k+1),y=0]= 0;

(k^2-1)^2*y^4+2*((k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2)*y^2+(k^2-1)^2*x^4+4*c*(k^2-1)*x^3-2*((c^2+L^2)*k^2-3*c^2+L^2)*x^2-4*c*(c^2-L^2)*x+(L^2-c^2)^2[x=-(c-L)/(k-1),y=0] = 0 ;

(k^2-1)^2*y^4+2*((k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2)*y^2+(k^2-1)^2*x^4+4*c*(k^2-1)*x^3-2*((c^2+L^2)*k^2-3*c^2+L^2)*x^2-4*c*(c^2-L^2)*x+(L^2-c^2)^2[x=(c-L)/(k+1),y=0] = 0;

(k^2-1)^2*y^4+2*((k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2)*y^2+(k^2-1)^2*x^4+4*c*(k^2-1)*x^3-2*((c^2+L^2)*k^2-3*c^2+L^2)*x^2-4*c*(c^2-L^2)*x+(L^2-c^2)^2[x=-(c+L)/(k-1),y=0] = 0;

四个解均符合四次方程 确定方程简化无误...........

shuxuestar

计算机验算解：

y1=-sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)[x=(c+L)/(k+1)]  =0;

y2=sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)[x=-(c+L)/(k-1)]  = 0;

y3=-sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)[x=(c-L)/(k+1)]  = 0；

y4=sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)[x=-(c-L)/(k-1)]  = 0；

   四个解均正确  完美解决了笛卡尔方程解析解的问题..........

这样就可以用数学方法准确表达笛卡尔卵形了...............

当然还有笛卡尔蛤形线 这些都是前人留下难解的迷题............

经过计算图像  y1；y2两个解不符合笛卡尔卵形线定义 （L>r'>0）故舍去.....

shuxuestar

根据上述方程的解得到笛卡尔卵形线系 两端极限：左焦点与右焦点为圆心半径为L的正圆


与前面1#计算相似  1#为焦距c与左焦点距不变 (L可变) 的笛卡尔卵形线系  左端点的曲率对比关系.....

shuxuestar

k*sqrt(x^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=L；
当y=0，+-k*x+-(x-c)=L;
x1 = (c+L)/(k+1);
x2 = -(c-L)/(k-1);
x3 = (c-L)/(k+1);
x4 = -(c+L)/(k-1).
这有四个解 而卵形曲线的情况是：k>=0,c>=0, L>=0，且L>r'.有两个端点

四个解一一来分析：

k*x+(x-c)=L；（x>0成立，适合右端点在焦距右的k值曲线 k*x+(x-c)=L 在x<0 不符合L>0定义）
x=(c+L)/(k+1)

k*x-(x-c)=L 适合右端点在焦距内的k值曲线
x=-(c-L)/(k-1)

左边是：-k*x-(x-c)=L；（x<0成立，适合左端点在焦距左的k值曲线 -k*x-(x-c)=L在x>0 不符合L>0定义）
x=(c-L)/(k+1)

-k*x+(x-c)=L 不适合右端点定义(-k*x<0) 也不适合左端点定义((x-c)<0) 可舍去...
x=-(c+L)/(k-1)

shuxuestar

左焦点在原点在x向上笛卡尔蛤形线方程为：

k√(x^2+y^2)-√((x-c)^2+y^2)=L；(L>0,c>0,k>0)

L=kr-r'(加权差）

√(x^2+y^2)-k√((x-c)^2+y^2)=L；(L>0,c>0,k>0)

L=r-kr' (加权差） L/k=r/k-r' 等价与：L'=k'r-r' ；

可见两种方程均为极径加权差 意义相同且可变换为一种形式故曲线形状只有一种


笛卡尔蛤形线方程为：

k*sqrt(x^2+y^2)-sqrt((x-c)^2+y^2)=L;

shuxuestar

简化：

k*sqrt(x^2+y^2)=L+sqrt((x-c)^2+y^2);

(k*sqrt(x^2+y^2))^2=(L+sqrt((x-c)^2+y^2))^2;

(k*sqrt(x^2+y^2))^2-(L+sqrt((x-c)^2+y^2))^2=0;

(-2*L*sqrt(y^2+x^2-2*c*x+c^2))+(k^2-1)*y^2+(k^2-1)*x^2+2*c*x-c^2-L^2=0；

(-2*L*sqrt(y^2+x^2-2*c*x+c^2))^2=(-((k^2-1)*y^2+(k^2-1)*x^2+2*c*x-c^2-L^2))^2；

(-2*L*sqrt(y^2+x^2-2*c*x+c^2))^2-(-((k^2-1)*y^2+(k^2-1)*x^2+2*c*x-c^2-L^2))^2=0；

得偶次数y四次方程:

((-k^4)+2*k^2-1)*y^4
+
(((-2*k^4)+4*k^2-2)*x^2+(4*c-4*c*k^2)*x+(2*c^2+2*L^2)*k^2-2*c^2+2*L^2)*y^2
+
((-k^4)+2*k^2-1)*x^4+(4*c-4*c*k^2)*x^3+((2*c^2+2*L^2)*k^2-6*c^2+2*L^2)*x^2+(4*c^3-4*L^2*c)*x-c^4+2*L^2*c^2-L^4
=0；

-(k^2-1)^2*y^4
+
-2*( (k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2)*y^2
+
-(k*x-x+c-L)*(k*x-x+c+L)*(k*x+x-c-L)*(k*x+x-c+L)
=0；

(k^2-1)^2*y^4
+
2*( (k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2)*y^2
+
(k*x-x+c-L)*(k*x-x+c+L)*(k*x+x-c-L)*(k*x+x-c+L)
=0；

解得：
y1 = -sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

y2 = sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

y3 = -sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

y4 = sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

shuxuestar

k*sqrt(x^2+y^2)-sqrt((x-c)^2+y^2)=L；
当y=0，+-k*x-+(x-c)=L;
x1 = -(c-L)/(k-1);
x2 = (c+L)/(k+1);
x3 = (c-L)/(k+1);
x4 =-(c+L)/(k-1).

计算机验证：
y1=-sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)[x=-(c+L)/(k-1)] = y = 0

y2=sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)[x=(c+L)/(k+1)] = y = 0

y3=-sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)[x=-(c-L)/(k-1)] = y = 0

y4=sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)[x=(c-L)/(k+1)] = y = 0

四个解均符合笛卡尔方程 为y偶四次方程的解... 结论可以应用...