趣味几何－三角形内的一个不等式

ccmmjj

如图，三角形内过顶点的三条线段两两相交。如果三条红线段相等等于a，这个三角形外接圆半径为R。
求证：a<R

ccmmjj

引理如图，钝角三角形ABC的角A为钝角，以锐角顶点B、C为圆心，以不超出至顶点A的距离为半径的两圆重合部分（图中阴影部分）必在钝角A内（可能包含钝角顶点）。证明极易，不必说了。
现在看楼主的图，三角形ACF、BCE、ABD中至少有两个是以D、E、F为钝角顶点的钝角三角形，不妨设为三角形ACF、BCE。分别以A、B、C为圆心，r为半径作圆，若r>=R,则此三圆必皆包含其外心（r=R时外心在圆上，r>R时外心在圆内）。即此三圆必有交。外心当在任两圆之交内。于是由引理，外心既在钝角AFC内又在钝角BEC内。而如图此二限并无交集即生矛盾。于是假设r>=R必不能于此图成立。证毕。

ccmmjj

这是那出题网友的证明。