五评华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》 ——无知非议密率 倪则均，2015年5月21日。

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1，对于密率355/113的种种非议。
1931年，钱宝琮（1892—1974）首先在他的《中国算学史》上，提出了以下加权加成的推测：“以徽率157/50与约率22/7为母近似值，并计算出加成权数为9，于是有：（157+22×9）/（50+7×9）=355/113。”，华罗庚对于355/113的来历，提出了完全不同于钱宝琮的新看法。华罗庚根据圆周长π≈3.14159265，与直径d=1二数之间的以下辗转相除：
3.14159265=3×1+0.14159265，1=7×0.14159265+0.00885145，
0.14159265=15×0.00885145+0.00882090，
0.00885145=0.00882090×1+0.00003055，……
从而就可以将圆周率π≈3.14159265，运用连分数的形式表示出来。而这个连分数的渐近分数是：3，22/7，333/106，355/113。然而，王渝生在他的《中国算学史》上，对于上述连分数来由的说法，却作出了让人觉得有些奇怪的反应。尽管王渝生没有直接点华罗庚的名，但是明眼人一看就知道，他下面的话完全是针对华罗庚所说的：
“连分数在中国传统数学中没有出现过，前无来路，后无去迹，似乎不太可能，即便是由π的连分数值…得渐近分数序列3，22/7，333/106，355/113，……取第四个数便是密率，但仍觉不如取157/50为弱率，22/7为强率，调得（157+22×9）/（50+7×9）=355/113。或者由x/y＜3927/1250，3927y＞1250x，令3927y=1250x+1，化为同余式177y≡1（mod 1250），用求一术得y=113，x=355更符合中国传统数学的实际。而且，以下的推测
（3927-22）/（1250-7）=3905/1243=355/113。
也不是不可能的，因为在欧洲，最早得到这个值的奥托（V.Otto，1573年）就可能是通过阿基米德圆周率22/7和托勒玫的377/120折中而得的：（377-22）/（120-7）=355/113。”
由此可见，王渝生认为钱宝琮的加权加成，他的同余式求一方法，甚至一千多年后的外国人的折中方法，都能符合中国传统数学的实际。惟独只有华罗庚的连分数，在中国传统数学中没有出现过，前无来路，后无去迹，似乎不太可能。看来王渝生实在太健忘了，他似乎完全忘记了，紧接着他在说上述这一番话的前面，他还说了“算理上的分析并不能代替对历史事实的确定，任何结论都必须有史料上的依据。“例不十，法不立”，仅有孤证那是不够的。”
显而易见，上面王渝生认为符合中国传统数学实际的三种方法，恰恰全部都是孤证。惟独只有他认为在中国传统数学中没有出现过的连分数，反而不是孤证。其实，华罗庚只要反击说：“《周髀算经》里的十九年七闰，应该也是通过连分数所得到。”，立即就可以让那些非议者全都瞠目结舌。然而，华罗庚首先必须对于此话有所理解，其次还要敢于大胆说出来，因为这句话会得罪他的西方数学的祖师爷的。
2，辗转相除法的来历。
胡作玄写了一本《近代数学史》，其第8章“实分析”的1．2节“无穷连分数”上说：“连分数的概念来源于欧几里得辗转相除法，而第一个一般的定义来自菲波那奇。实际上，这种连除法可追溯到公元前1600年的古埃及莱茵德纸草书。”首先要纠正的是，在欧几里得的《几何原本》里，只有辗转相减法，没有辗转相除法。现在大家所经常使用的辗转相除法，完全是对于欧几里得辗转相减法的发展。
西方以几何为主体的数学，起源于埃及，鼎盛于希腊。大约从五世纪开始，整个欧洲进入了基督教的黑暗统治，古希腊人的几何成果，几乎全部散失。欧几里得的《几何原本》幸好流入了阿拉伯，成了当时伊斯兰大学的教课书，得以保存下来。直到十二世纪，欧洲掀起了一场大翻译运动，《几何原本》才被找了回去，但是其中已经夹杂了大量的中国数学。例如《几何原本》里的第七卷命题1，简直就是对于我国的“更相减损术”的直接照搬：“命题1：设有不相等的二数，从大数中连续减去小数直到余数小于小数，再从小数中连续减去余数直到小于余数，这样一直做下去，若余数总是量不尽其前一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互素。”
那么，为什么在《几何原本》里，会夹杂了大量的中国数学？其实原因十分简单，这是由于玄奘天竺取经，同时也带去了唐朝的先进数学。那时的印度和阿拉伯各国，对于数学全都极其重视，这就是作为一个普通留学生的玄奘，却一直受到了沿途各国元首级的礼遇的原因所在。由于印度是一缺乏历史记载的国家，以后的印度有何反响，我们已经无法知道，但是我们知道，从八世纪到十世纪是阿拉伯数学的翻译时期，《九章算术》里的“盈不足术”被他们称为“契丹算法”。
1582年，意大利传教士利玛窦首先来到我国，带来了欧几里得的《几何原本》，一直希望能找到肯与他合作翻译此书的人。直到1606年，他才与徐光启一起，合译了此书的前面六卷之后，就再也不肯继续合译下去了。他在《译几何原本序》中写道：“太史意方锐，欲竟之。余曰：止，请先传此，使同志者习之，果以为用也，而后徐计其余。”徐光启不精拉丁文，无可奈何，曾感慨万端地说：“续成大业，未知何日，未知何人”。《几何原本》后面九卷，直到246年后，才由李善兰和伟烈亚力继续合译完成。
那么，为什么利玛窦在合译《几何原本》的事情上，会表现得如此的虎头蛇尾，搞得这样的出尔反尔。其实，《几何原本》从第七卷开始讨论算术问题，首先介绍的是求取最大公约数的辗转相减法，也就是《九章算术》里的“更相减损术”。利玛窦是个聪明人，来到中国后不会不看《九章算术》，因此他知道若是再继续合译下去，必定就会露马脚。
3，莱茵德纸草书。
尼罗河的年年泛滥，既给下游的埃及带去了肥沃的土地，也模糊了田地之间的界线，由于古埃及人的田地年年都得重新划分，因此促进了他们几何学的特别的发展。我们从他们四千多年前所建造的那些金字塔，可以推测知道，那时他们的几何学水平已经是很高很高了，大概要比那时我们的中国几何高出一些吧。然而，由于一直未能找到相关的史料，使得我们无法确切知道，那时他们的几何到底发展到了何等水平。
现在大家只找到了两份纸草书，应该都是3700多年前的作品。莫斯科纸草书是由格列尼切夫于1893年发现，其中只有25道题目。莱因德纸草书又称为英国纸草书，是由由英国的埃及学者莱因德﹝A. H. Rhind﹞，于1858年购得，现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长544厘米，宽33厘米。作者是书记官阿默斯。内容似乎是依据了更早年代﹝1849 B.C. ─1801 B.C.﹞的教科书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，最早发现于埃及底比斯的废墟中。
纸草书的卷首载录了一组分数分解表，把﹝n为3到101之间的奇数﹞分解为单位分数﹝分子为1的分数﹞之和。接着列出了85个问题，每个问题都给出了解答。问题1─6是如上第二个表的应用，如问题3是10个人分6只面包，问各得多少。7─20题是分数的乘法运算。21─23题分别是将一已知分数变为单位1和。问题24─38内容在今天可归为一元一次方程，其解法使用了假位法。其中后半部份﹝35─38﹞是关于量器海克特﹝hekat﹞的使用问题，39-40是关于面包分配的问题，涉及等差数列。如第40题为：「把100只面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的是最小的两份之和，问各得多少？」
问题41─46是体积问题。48─55题为面积问题，其中有圆、正方形、等腰三角形、等腰梯形等。圆的面积是直径的九分之八的平方，即相当于取圆周率π= 3.16049。56─60题是金字塔问题，从中可看到三角学的初步知识。问题61以后是杂题，涉及许多实际问题，其中69─78题是关于食物中所含原料的比例问题。79题是一个等比数列问题。84题是牲畜饲料的分配问题。其它问题不甚完整。
莱因德纸草书是了解埃及数学的最主要依据。它准确反映了当时埃及的数学知识状况，其中鲜明地体现了埃及数学的实用性。它对我们应该如何看待数学的起源问题有很大的启发。显而易见，莱因德纸草书与辗转相除法根本毫无关系，因此胡作玄上面的那种说法，实在有些莫名其妙。我国的“更相减损术”，确实在3700多年前就已经有明确的记载，和极其广泛的应用。对于西方数学的迷魂汤，胡作玄或许也喝得太得了，他大概已经不知道他到底是不是中国人了吧？

zhangjiali

中国的割圆术公式其实是很优美的，但没有一个数学家好好的整理一下，都是人云亦云，长篇大段，说不到重点上。
基础公式：
π＝180°sinθ∕θ 、
π＝180°tgθ∕θ 、
（θ→0°.θ＞0°）

专业公式：
π＝   2＾n√（2-√（2+…√2）…）
π＝3×2＾n√（2-√（2+…√3）…）
π＝2×2＾n√（2-√（2+…√2）…）/√（2+√（2+…√2）…）
π＝6×2＾n√（2-√（2+…√3）…）/√（2+√（2+…√3）…）
（n→∞，根式中有n个2）