转帖 哥德巴赫数对

白新岭

可以写成两个奇素数之和的偶数称为歌德巴赫数。哥德巴赫猜想任意不小于6的偶数都是哥德巴赫数。
且记偶数2n可拆成的所有素数对之集为G(2n), 比如G(16)={(3,13),(5,11)}.
如果存在(p,q)∈G(2n), 使得(2n+p,2n+q)∈G(6n)，我们就将(2n,6n)称为哥德巴赫数对，其中2n称为（哥德巴赫）对首。
请问是否除了下面这些数以外，所有6的倍数都是哥德巴赫对首？
6
48
138
192
456
522
534
558
576
696
978
1074
1086
1644
2172
2286
2316
此贴来自数学研发论坛的mathe（论坛-数学研究-难题征解-哥德巴赫数对）哪里有连接

白新岭

为何重点关注3倍数的偶数？
当2n不是3的倍数时

设(p,q)∈G(2n), (2n+p,2n+q)∈G(6n), 由于p, p+q, p+2q为等差数列，其中必有3的倍数，故p=3.
2n=3+q(奇素数），q，q+6, 2q+3同时为素数，这在自然数中分布的稀疏程度已近于孪生素数，可见非6n形哥德巴赫数对比较稀少。
用Excel获得前1000000偶数中有2661个非6n形哥德巴赫数对。

当计算哥德巴赫数对的分布密度时，非6n形的贡献为无穷小，故关注的重点为3倍数的偶数。

白新岭

偶数        2n+3        4n-3
8        11        13
10        13        17
16        19        29
20        23        37
50        53        97
56        59        109
70        73        137
76        79        149
100        103        197
160        163        317
170        173        337
176        179        349
196        199        389
226        229        449
230        233        457
280        283        557
310        313        617
356        359        709
386        389        769
506        509        1009
560        563        1117
566        569        1129
610        613        1217
616        619        1229
650        653        1297
856        859        1709
1016        1019        2029
1036        1039        2069
1066        1069        2129
1120        1123        2237
1190        1193        2377
1220        1223        2437
1280        1283        2557
1430        1433        2857
1450        1453        2897
1456        1459        2909
1486        1489        2969
1546        1549        3089
1556        1559        3109
1610        1613        3217
1616        1619        3229
1666        1669        3329
1696        1699        3389
1780        1783        3557
1996        1999        3989
2066        2069        4129
2396        2399        4789
2470        2473        4937
2710        2713        5417
3166        3169        6329
3460        3463        6917
3530        3533        7057
3536        3539        7069
3620        3623        7237
3730        3733        7457
4010        4013        8017
4136        4139        8269
4516        4519        9029
4640        4643        9277
4676        4679        9349
5006        5009        10009
5230        5233        10457
5300        5303        10597
5396        5399        10789
5446        5449        10889
5480        5483        10957
5560        5563        11117
5686        5689        11369
5746        5749        11489
5810        5813        11617
5846        5849        11689
6050        6053        12097
6076        6079        12149
6260        6263        12517
6320        6323        12637
6656        6659        13309
6826        6829        13649
6866        6869        13729
7016        7019        14029
7646        7649        15289
7826        7829        15649
7870        7873        15737
7876        7879        15749
8240        8243        16477
8266        8269        16529
8366        8369        16729
8540        8543        17077
8696        8699        17389
8710        8713        17417
8750        8753        17497
8966        8969        17929
9046        9049        18089
9130        9133        18257
9400        9403        18797
9436        9439        18869
9536        9539        19069
9626        9629        19249
9646        9649        19289
9736        9739        19469
9746        9749        19489
9970        9973        19937
这是10000以内的非6n形哥德巴赫数对。

白新岭

如果保证p,q，2p+q（或p+2q）都是素数，及mod（p+q，6）=0，的情况下，则2p+q数在素数域并上2倍素数集合中有0.586810502974995*（它前素数个数+它前2倍素数的个数）^2/它本身组解，也就是说，与哥德巴赫猜想的素数对接近，如果再填上p+2q也是素数的话，它应该在3生素数与2生素数产生的概率之间，也就说哥德巴赫数对产生的概率在孪生素数与（p，p+2，p+6）3生素数产生的概率之间

白新岭

P        Q        p        q
59957        30133        29927        103
59951        30139        29921        109
59663        30427        29633        397
59659        30431        29629        401
59561        30529        29531        499
59513        30577        29483        547
59453        30637        29423        607
59441        30649        29411        619
59419        30671        29389        641
59377        30713        29347        683
59333        30757        29303        727
59273        30817        29243        787
59239        30851        29209        821
59221        30869        29191        839
59197        30893        29167        863
59107        30983        29077        953
59051        31039        29021        1009
59009        31081        28979        1051
58909        31181        28879        1151
58897        31193        28867        1163
58733        31357        28703        1327
58699        31391        28669        1361
58693        31397        28663        1367
58601        31489        28571        1459
58579        31511        28549        1481
58441        31649        28411        1619
58061        32029        28031        1999
58031        32059        28001        2029
57991        32099        27961        2069
57973        32117        27943        2087
57947        32143        27917        2113
57853        32237        27823        2207
57839        32251        27809        2221
57793        32297        27763        2267
57727        32363        27697        2333
57719        32371        27689        2341
57557        32533        27527        2503
57397        32693        27367        2663
57173        32917        27143        2887
57107        32983        27077        2953
57097        32993        27067        2963
57041        33049        27011        3019
56891        33199        26861        3169
56843        33247        26813        3217
56747        33343        26717        3313
56731        33359        26701        3329
56713        33377        26683        3347
56569        33521        26539        3491
56543        33547        26513        3517
56527        33563        26497        3533
56489        33601        26459        3571
56467        33623        26437        3593
56453        33637        26423        3607
56369        33721        26339        3691
56239        33851        26209        3821
56149        33941        26119        3911
55949        34141        25919        4111
55933        34157        25903        4127
55829        34261        25799        4231
55763        34327        25733        4297
55619        34471        25589        4441
55439        34651        25409        4621
55331        34759        25301        4729
55127        34963        25097        4933
55009        35081        24979        5051
55001        35089        24971        5059
54983        35107        24953        5077
54973        35117        24943        5087
54779        35311        24749        5281
54727        35363        24697        5333
54581        35509        24551        5479
54121        35969        24091        5939
53959        36131        23929        6101
53939        36151        23909        6121
53861        36229        23831        6199
53849        36241        23819        6211
53791        36299        23761        6269
53783        36307        23753        6277
53717        36373        23687        6343
53639        36451        23609        6421
53633        36457        23603        6427
53611        36479        23581        6449
53323        36767        23293        6737
53299        36791        23269        6761
53281        36809        23251        6779
53233        36857        23203        6827
53189        36901        23159        6871
53161        36929        23131        6899
53093        36997        23063        6967
53069        37021        23039        6991
53003        37087        22973        7057
52951        37139        22921        7109
52901        37189        22871        7159
52817        37273        22787        7243
52813        37277        22783        7247
52727        37363        22697        7333
52667        37423        22637        7393
52579        37511        22549        7481
52561        37529        22531        7499
52511        37579        22481        7549
52183        37907        22153        7877
52021        38069        21991        8039
51893        38197        21863        8167
51829        38261        21799        8231
51817        38273        21787        8243
51787        38303        21757        8273
51769        38321        21739        8291
51631        38459        21601        8429
51521        38569        21491        8539
51437        38653        21407        8623
51413        38677        21383        8647
51307        38783        21277        8753
51257        38833        21227        8803
51199        38891        21169        8861
51137        38953        21107        8923
51131        38959        21101        8929
51047        39043        21017        9013
50993        39097        20963        9067
50951        39139        20921        9109
50909        39181        20879        9151
50839        39251        20809        9221
50777        39313        20747        9283
50723        39367        20693        9337
50581        39509        20551        9479
50539        39551        20509        9521
50363        39727        20333        9697
50291        39799        20261        9769
50153        39937        20123        9907
50119        39971        20089        9941
50053        40037        20023        10007
50051        40039        20021        10009
49991        40099        19961        10069
49921        40169        19891        10139
49807        40283        19777        10253
49747        40343        19717        10313
49739        40351        19709        10321
49531        40559        19501        10529
49463        40627        19433        10597
49331        40759        19301        10729
49261        40829        19231        10799
49193        40897        19163        10867
48947        41143        18917        11113
48889        41201        18859        11171
48623        41467        18593        11437
48571        41519        18541        11489
48481        41609        18451        11579
48473        41617        18443        11587
48463        41627        18433        11597
48371        41719        18341        11689
48281        41809        18251        11779
48247        41843        18217        11813
48163        41927        18133        11897
48091        41999        18061        11969
48073        42017        18043        11987
48017        42073        17987        12043
47951        42139        17921        12109
47911        42179        17881        12149
47791        42299        17761        12269
47639        42451        17609        12421
47581        42509        17551        12479
47521        42569        17491        12539
47513        42577        17483        12547
47407        42683        17377        12653
47389        42701        17359        12671
47363        42727        17333        12697
47269        42821        17239        12791
47237        42853        17207        12823
47137        42953        17107        12923
46957        43133        16927        13103
46901        43189        16871        13159
46679        43411        16649        13381
46663        43427        16633        13397
46649        43441        16619        13411
46591        43499        16561        13469
46441        43649        16411        13619
46093        43997        16063        13967
45989        44101        15959        14071
45817        44273        15787        14243
45673        44417        15643        14387
45599        44491        15569        14461
45557        44533        15527        14503
45541        44549        15511        14519
45503        44587        15473        14557
45403        44687        15373        14657
45361        44729        15331        14699
45337        44753        15307        14723
45319        44771        15289        14741
45293        44797        15263        14767
45247        44843        15217        14813
45137        44953        15107        14923
45131        44959        15101        14929
这是（30030，90090）的哥德巴赫数对

白新岭

因为哥德巴赫数对是（2n，6n），2n又是3的倍数，所以在哈代的哥德巴赫猜想数对上的表达式是一致的，即c*（2n）/（LN(2n））^2与C*（6n）/（LN(6n））^2中大小c常数相等，另外哥德巴赫猜想数对还可以写成c*（6n前素数个数）^2/(6n）的形式，这说明与区间的素数个数有直接关系，在三分之二的取值区间，如果我们安均匀分布的情况下，可以有1/3的素数个数，用素数定理代替素数个数，则得到6n的三分之二段内有哥德巴赫猜想数对，大概为c/9*（6n）/（LN(6n））^2对有可能是哥德巴赫数对，它的数对占的比例（与c*（2n）/（LN(2n））^2数对比较）就该是哥德巴赫数对的比例，即c/9*（6n）/（LN(6n））^2/(c*（2n）/（LN(2n））^2)*c/9*（6n）/（LN(6n））^2=1/3*（LN(2n））^2/（LN(6n））^2*c/9*（6n）/（LN(6n））^2=2C/9*n*LN(2n））^2/（LN(6n））^4.
经过公式验算，得到的结果是c/9*（6n）/（LN(6n））^2的值接近哥德巴赫数对，而不是2C/9*n*LN(2n））^2/（LN(6n））^4，前一个公式的结果为196.9对哥德巴赫数对，后边的公式是53.6对，实际解为191对，这样看来哥德巴赫数对仅比哥德巴赫猜想数对的数量级差1个量级，也就说随着2n的增大哥德巴赫数对是无限制增大的，可以要多大就有多大，只需范围增大即可。在就是与哥德巴赫猜想一样有波动性，前后的哥德巴赫数对有较大的起伏落差。

白新岭

P        Q        q        p
57131        32941        2917        27107
56431        33641        3617        26407
56131        33941        3917        26107
56041        34031        4007        26017
55691        34381        4357        25667
54541        35531        5507        24517
54121        35951        5927        24097
53051        37021        6997        23027
51511        38561        8537        21487
51421        38651        8627        21397
49711        40361        10337        19687
49481        40591        10567        19457
47501        42571        12547        17477
46681        43391        13367        16657
46591        43481        13457        16567
而仅挨着的90072仅有15对，相差悬殊
上楼提到的（30024，90072）的哥德巴赫数对与公式C/9*n*LN(2n））^2/（LN(6n））^4的值接近，公式解为13.9对（这里是无序的，即限制p，q的大小关系，对调后算一对哥德巴赫数对），这里的公式没有了常数2就是变为无序的，哥德巴赫猜想数对是有序素数对（指哈代公式）

白新岭

6n的偶数        18n的偶数        统计        6n的偶数        18n的偶数        统计        6n的偶数        18n的偶数        统计
6        18        0        2004        6012        12        9402        28206        20
12        36        2        2010        6030        20        9408        28224        24
18        54        2        2016        6048        16        9414        28242        12
24        72        4        2022        6066        4        9420        28260        54
30        90        4        2028        6084        4        9426        28278        12
36        108        2        2034        6102        2        9432        28296        10
42        126        4        2040        6120        34        9438        28314        22
48        144        0        2046        6138        6        9444        28332        16
54        162        2        2052        6156        4        9450        28350        106
60        180        8        2058        6174        8        9456        28368        14
66        198        4        2064        6192        6        9462        28386        14
72        216        2        2070        6210        26        9468        28404        8
78        234        4        2076        6228        12        9474        28422        12
84        252        4        2082        6246        4        9480        28440        48
90        270        6        2088        6264        6        9486        28458        18
96        288        4        2094        6282        2        9492        28476        28
102        306        2        2100        6300        46        9498        28494        14
108        324        4        2106        6318        8        9504        28512        20
114        342        2        2112        6336        8        9510        28530        58
120        360        10        2118        6354        10        9516        28548        26
126        378        6        2124        6372        6        9522        28566        8
132        396        2        2130        6390        20        9528        28584        16
138        414        0        2136        6408        2        9534        28602        20
144        432        8        2142        6426        16        9540        28620        56
150        450        6        2148        6444        6        9546        28638        10
156        468        4        2154        6462        2        9552        28656        10
162        486        6        2160        6480        28        9558        28674        8
168        504        6        2166        6498        10        9564        28692        12
174        522        6        2172        6516        0        9570        28710        88
180        540        8        2178        6534        12        9576        28728        26
186        558        4        2184        6552        16        9582        28746        14
192        576        0        2190        6570        22        9588        28764        16
198        594        2        2196        6588        10        9594        28782        10
204        612        2        2202        6606        10        9600        28800        58
210        630        18        2208        6624        8        9606        28818        14
216        648        4        2214        6642        10        9612        28836        14
222        666        4        2220        6660        20        9618        28854        22
228        684        2        2226        6678        16        9624        28872        24
234        702        6        2232        6696        2        9630        28890        50
240        720        6        2238        6714        4        9636        28908        22
246        738        2        2244        6732        12        9642        28926        18
252        756        4        2250        6750        20        9648        28944        10
258        774        2        2256        6768        8        9654        28962        16
264        792        4        2262        6786        10        9660        28980        100
270        810        10        2268        6804        18        9666        28998        18
276        828        6        2274        6822        10        9672        29016        18
282        846        2        2280        6840        34        9678        29034        18
288        864        6        2286        6858        0        9684        29052        20
294        882        4        2292        6876        4        9690        29070        72
300        900        12        2298        6894        2        9696        29088        16
306        918        4        2304        6912        2        9702        29106        24
312        936        4        2310        6930        62        9708        29124        12
318        954        2        2316        6948        0        9714        29142        12
324        972        2        2322        6966        6        9720        29160        54
330        990        18        2328        6984        12        9726        29178        10
336        1008        8        2334        7002        8        9732        29196        16
342        1026        4        2340        7020        40        9738        29214        14
348        1044        2        2346        7038        10        9744        29232        28
354        1062        2        2352        7056        10        9750        29250        68
360        1080        14        2358        7074        4        9756        29268        12
366        1098        4        2364        7092        4        9762        29286        14
372        1116        4        2370        7110        30        9768        29304        16
378        1134        6        2376        7128        6        9774        29322        22
384        1152        4        2382        7146        8        9780        29340        56
390        1170        14        2388        7164        2        9786        29358        34
396        1188        6        2394        7182        14        9792        29376        12
402        1206        2        2400        7200        28        9798        29394        18
408        1224        4        2406        7218        8        9804        29412        14
414        1242        4        2412        7236        4        9810        29430        54
420        1260        24        2418        7254        10        9816        29448        16
426        1278        2        2424        7272        12        9822        29466        14
432        1296        4        2430        7290        30        9828        29484        38
438        1314        2        2436        7308        16        9834        29502        12
444        1332        4        2442        7326        6        9840        29520        66
450        1350        16        2448        7344        10        9846        29538        18
456        1368        0        2454        7362        6        9852        29556        6
462        1386        12        2460        7380        30        9858        29574        14
468        1404        4        2466        7398        4        9864        29592        18
474        1422        2        2472        7416        4        9870        29610        110
480        1440        16        2478        7434        16        9876        29628        16
486        1458        2        2484        7452        12        9882        29646        10
492        1476        4        2490        7470        34        9888        29664        8
498        1494        6        2496        7488        6        9894        29682        22
504        1512        6        2502        7506        2        9900        29700        74
510        1530        16        2508        7524        14        9906        29718        18
516        1548        2        2514        7542        8        9912        29736        24
522        1566        0        2520        7560        44        9918        29754        20
528        1584        6        2526        7578        4        9924        29772        10
534        1602        0        2532        7596        8        9930        29790        50
540        1620        14        2538        7614        4        9936        29808        20
546        1638        8        2544        7632        2        9942        29826        8
552        1656        2        2550        7650        34        9948        29844        10
558        1674        0        2556        7668        8        9954        29862        24
564        1692        2        2562        7686        14        9960        29880        62
570        1710        16        2568        7704        10        9966        29898        24
576        1728        0        2574        7722        10        9972        29916        26
582        1746        6        2580        7740        24        9978        29934        10
588        1764        6        2586        7758        10        9984        29952        16
594        1782        4        2592        7776        10        9990        29970        58
600        1800        12        2598        7794        6        9996        29988        30
这是每段各取100组的哥德巴赫数对，统计需除2（变成无序的）

白新岭

哥德巴赫数对除了mathe提到的17个以外，在没有反例