现行实数理论必须改革

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第一， 现代数学教科书中的实数理论有三种：维尔斯特拉斯的实数理论是：称无尽小数为实数（参看余元希、田万海、毛宏德《初等代数研究》上册）；戴德金的实数理论是建立在有理数域分划基础上的实数理论（参看菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册）；康托尔的实数理论：称每一个等价基本数列类为一个实数（参看华东师范大学编《数学分析》上册附录II）。这三种实数理论都需要使用无穷集合是完成了的总体的实无穷概念。但前边已经讲过，无穷集合不是能被人们构造完毕的总体，这样一来，现行实数理论就存在着实际应用的困难；存在着实数理论研究中三分律的反例；存在着连续函数理论研究中海涅定理的反例。为解决这些问题，笔者考虑到：虽然现实数量的大小具有可变性，但在相对性与暂时性的意义下可以认为：任一现实数量都有一个确定的大小，可以提出“数学是研究与描述现实数量大小及其关系的科学，现实数量的大小、多少具有可变性，只要描述到满足生产实际需要的足够准就行了”的概念，并使用无穷与有穷、理想与现实、精确与近似相互依存的唯物辩证方法下的对立统一法则，改写实数理论如下。
定义11（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）具有可变性；但在相对性与暂时性的意义下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 ）。与除不尽的有理数1/3类似，对π与 也需要使用康托儿实数理论中的基本数列中的数（十进小数或其它有理数）近似表示。所以再提出如下几个定义、公理。
第二，关于无穷的概念的争论，王宪钧在他的《数理逻辑引论》301-304 页中讲到：“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的。潜无穷论者否定实无穷,认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的,无穷只是潜在的”[5]。从这个说明来看，实无限这个名词包含着“无限是完成了的整体”的意思，如果没有这个意思，那么无限集合应当是“存在着的没有被完成的事物”；究竟如何，这是一个争论了两千多年的问题，古代芝诺提出的悖论就是为了“反对完成了的整体”的悖论，亚里士多德，研究了芝诺悖论，抛弃了实无穷观点提出了无穷不是完成了的整体的潜无穷观点；欧几里得接受了亚里士多德的意见，在不使用实无穷观点下写出了《几何原本》，没有提出点是无有大小的概念。但近代康托儿提出了“数学必须肯定实无穷”意见后的近代ZFC公理集合论，承认“自然数的归纳集是完成了的整体的实无穷集合”；前边已经讲到，把ZFC形式公理体系作为数学基础存在许多问题，为此笔者想到了“对立统一法则是唯物辩证法的根本法则”(参看毛泽东《矛盾论》) ，想到了古代太极图理论中“阴阳产生万物”的思想，想到了“一切事物中包含着的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾，就无有世界”（参看毛泽东《矛盾论》）的论述。因此，笔者提出数学理论中必须使用“无限与有限、理想与现实、精确与近似相互依存、相互斗争的对立统一法则，使用无限是从有限出发逐渐趋向性质的广义极限方法、使用希尔伯特提出的使用普通语言（或称元语言）叙述方式修改了数学理论中的许多基本概念。