两人从A开始扔硬币，出正面得1分并继续扔，出反面换人，求 n 次后A恰好先得2分的概率

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

Ysu2008

AB两人投掷均匀硬币决胜负，掷出正面得一分，反面不得分，先得 2 分者获胜，求先手获胜概率。

比赛规则可细分为两种：
(1)、“再接再厉”——掷出正面得分者继续投掷，掷出反面换人投掷（本题规则）；
(2)、“每把换手”——AB两人轮流投掷，无论掷出正反。

直觉上，先手获胜的概率，(1)似乎比(2)要来得大。

由于硬币没有记忆性，我们不妨将比赛过程分段。规定：AB两人有一人掷出正面得分时叫做一局。

一局中，先手掷出正面所需次数 k 服从几何分布，即 P(k)=(1/2) * (1/2)^(k-1) = (1/2)^k
此时后手投掷次数必为 k-1 ,投掷 k-1 次全部掷出反面的概率为 (1/2)^(k-1)

所以，先手在第 k 次获胜的概率为 (1/2)^k  *  (1/2)^(k-1) =  (1/2)^(2k-1)
对所有情况求和，k=1 to inf ，SUM((1/2)^(2k-1)) = 2/3
一局中，先手获胜的概率为 2/3 ，后手获胜的概率为 1/3

规则(1)，A为先手获胜的概率，分为如下三种：
A 直落两局以 2:0 获胜，两局 A 都是先手，概率为 2/3 * 2/3 = 4/9
A 先手输一局，后手赢一局，先手赢一局，以总比分 2:1 获胜的概率为 1/3 * 1/3 * 2/3 = 2/27
A 先手赢一局，先手输一局，后手赢一局，以总比分 2:1 获胜的概率为 2/3 * 1/3 * 1/3 = 2/27
所以 A 作为先手获胜的总概率为 4/9 + 2/27 + 2/27 = 16/27

规则(2)，A为先手获胜的概率，也有如下三种：
A 先手赢一局，后手赢一局，以 2:0 获胜，概率为 2/3 * 1/3 = 2/9
A 先手输一局，后手赢一局，先手赢一局，以总比分 2:1 获胜的概率为 1/3 * 1/3 * 2/3 = 2/27
A 先手赢一局，后手输一局，先手赢一局，以总比分 2:1 获胜的概率为 2/3 * 2/3 * 2/3 = 8/27
所以 A 作为先手获胜的总概率为 2/9 + 2/27 + 8/27 = 16/27

综上， 两种比赛规则先手获胜概率一样大。事实上，先得 m > 2 分而获胜的其他情况，两种规则先手获胜概率都一样大。这也是违反人类直觉的一个例子。

luyuanhong

谢谢楼上 Ysu2008 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。