孪生质数有无穷多

张连元

（续1）
孪生质数有无穷多（2018年12月修改）
第一节    孪生质数可以这样形成
作原点相同互相平行且同向的两个从1到n一一相对的正整数轴，轴 A代表奇数SA=6n–1 ,
轴B代表奇数SB=6n+1

    当n相等时有SB–SA=(6n+1)–(6n–1)=2，
两轴上的任意一个n值，其SA和SB要么都是合数(视为合合点对，以hh表示)、要么一个是合数
另一个是质数(视为合质点对，以hp表示)、要么都是质数(视为质质点对，以pp表示)。如果都是质数
(即质质点对)，则该SA和SB就形成了一对孪生质数。
以HA(n)和HB(n)代表不超过n的{SA}和{SB}中合数的个数，以πA(n)和πB(n)代表不超过n的{SA}和{SB}中质数的个数，以dH(n)代表不超过n的{SA}和{SB}中相对应的合数的个数──即hh的个数，以dπ(n)代表不超过n的{SA}和{SB}中相对应的质数的个数──即pp的个数。据此可得如下简图：

    ∵  πA(n)=n–HA(n)          πB(n)=n–HB(n)
   根据上图可得出：
        dπ(n)= π_A(n) +π_B(n)+dH(n)–n                 (1.1)
   和   dπ(n)=n+ dH(n)–HA(n)–HB(n)                  (1.2)   
        n是正整数，n≥1 。
根据质数定理 lim┬(n→∞)  (π(n))/(n/logn)=1 可推导出 lim┬(n→∞)  (π(2n))/(π(n))=2 和 lim┬(n→∞)  (H(2n))/(H(n))=2。 因此(1.1)、(1.2) 式中只剩下dH(n) 和 dπ(n) 两未知项，如果能计算出 dH(n) 并找出它的规律，就可根据上式得出孪生质数即
dπ(n) 的形成规律。
n从1—400时n、hA、hB、hh、hp、pp的相关数值见附录。

第二节    两轴上合数的表达
1.  SA=6n–1=6(n–a)+(6a–1)，
           (n-a)/(6a-1)=α , n和a是正整数，若α 也是正整数时，说明SA=6n–1可以被分解，(6a–1)是SA的因数，SA是合数，代表合数的n的表达式是      
       n= (6a – 1) α + a                           (2.1)     
2.  SB=6n+1=6(n+b)–(6b+1)，
           (n+b)/(6b+1)=β , n和b是正整数，若β也是正整数时，说明SB=6n+1可以被分解，(6b+1)是SB的因数，SB是合数，代表合数的n的表达式是
       n= (6b+1) β – b                            (2.2)     
由(2.1),(2.2)式得出的n值都使SA 和SB是合数，并且分别有
         (6a – 1 ) | SA      和        ( 6b + 1 ) | SB
将α=b,β=a分别代入(2.1)(2.2)后得知(6a–1)α+a≡(6b+1)β–b，故以下的讨论仅用(2.1)式。
3.   SC=6n+1=6(n+c)–(6c–1)，
            (n+c)/(6c-1)=γ , n和c是正整数，若γ也是正整数时，说明SC=6n+1可以被分解，(6c–1)是SC的因数，SC是合数，代表合数的n的表达式是
       n = ( 6c – 1 ) γ – c                           (2.3)     
4.   SD=6n+1=6(n–d)+(6d+1)，
           (n-d)/(6d+1)=δ , n和d是正整数，若δ也是正整数时，说明SD=6n+1可以被分解，(6d+1) 是SD的因数，SD是合数，代表合数的n的表达式是         
       n = (6d + 1) δ + d                           (2.4)        
    由(2.3),(2.4)式得出的n值都令SC和SD是合数，且分别有
         (6c – 1 ) | SC       和         ( 6d + 1 ) | SD
(2.1)(2.2)(2.3)和(2.4)式中的 α, β, γ,δ 分别是给定a,b,c,d时合数的序数。