素数方阵论

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                                                                           素数方阵论(1)

                                            内容提要
             本文以古老的埃拉托色的求取素数的筛法为切入点，以直观方阵的模式，论证了求取素数的诸多定理，导出了求取素数及素数量的公式，创立了比埃拉托色更为简单求取素数的筛法，并在此筛法的基础上，创立了单一素数的求取，并从求取两个素数与孪生素数的相加和 入手，得出了求取两个素数与孪生素数相加和的公式，从而证明了哥德巴赫猜想的成立。
从求取两个素数的相加和入手，得出了求取两个素数相加和的公式，从而证明了哥德巴赫猜想的成立。
    关键词：素数，哥德巴赫猜想。孪生素数
            素数的螺旋。奇门八卦。

第一部分：素数方阵的罗列与素数的求取
（一）、求取素数话方阵
（引入原文）质数，也称素数，指大于1的自然数中，除了1和本身外，不能被其他自然数整除的数，如：2，3，5，7，11……，通常用“p”表示。
素数的分布规律至欧几里德以来就是个迷。今天，我们来认识下，素数的重要分布规律——素数定理。这是目前发现的，最重要的且被证明限制素数分布的定理之一。

欧几里得（Euclid）
大约生活于公元前300年，欧几里得被称作“几何之父”。他的代表作《几何原本》是史上最伟大的数学巨作之一，
欧几里德在大约公元前300年，就漂亮地证明了素数有无数个，从此人们开始了寻找素数公式的历程
大数学家欧拉在给丹尼尔•伯努利的一封信中写道："素数的计算公式，在我们这辈子可能找不到了。不过，我还是想用一个式子来表达它，但并不能表示出所有素数。n^2-n+41，n等于1到40"。
欧拉给出的这个多项式，在n=41时失效了，后来哥德巴赫给欧拉的信中提到："一个整系数多项式，是不可能对所有整数取到素数的，但有些多项式可以得到很多素数。"
后来欧拉漂亮地证明了哥德巴赫的这个猜想，欧拉对数论的贡献相当多，数论四大定理之一就有个——欧拉定理，而欧拉的素数乘积式，是开启黎曼猜想的金钥匙。
提出素数定理是怎样的体验?呕心沥血,才发现别人早就捷足先登!
   


欧拉和欧拉乘积式
对素数的研究，欧拉过后，直到高斯才有了进展，大约在1792年，15岁的高斯就发现，素数在自然数中的分布密度，趋近于类似于对数积分的函数。
同时期的数学家勒让德(A.M.Legendre)也提出了等价的猜想，但他们都无法对其证明，至此，这个问题成了数学界的顶级难题，甚至在数学界流传着：如果谁证明了这个猜想，那么他将会得到永生。
证我者，得永生！
直到一百多后的1896年，这个猜想才被两位年轻的数学家阿达马和德•拉•瓦莱布桑独立证明，他们的证明都是根据黎曼的思路走的，其中运用到了高深的整函数理论，至此，这个猜想正式升级为定理——素数定理（PNT）。
素数定理
值得一提的，他们两人一个活了96岁，一个活了98岁。
素数定理还有个初等表达式：
素数定理初等表达式
该定理可以推出很多有趣的结论，比如：
N是素数的概率～1/lnN；
第N个素数～NlnN；
这两个推论和PNT互为充要条件。
虽然我们有了PNT，但是PNT给出的绝对误差实在是糟糕透了，比如第10000个素数104729，而PNT给出的是92103，这是数学家不能接受的，我们想要的是准确的素数公式。
直到黎曼在1859年才给出了π(x)的准确表达式：



黎曼关于素数计数函数π(x)的表达式
但是该表达式基于一个猜想为前提，即大名鼎鼎的黎曼猜想，至今乃是数学界待解决的重要猜想。

说到素数的求取，早在公元前250年就出现在古希腊。原始的筛法可以用来寻找一定范围内（比如说2到100）的素数：先将第一个数2留下，将它的倍数全部划掉；再将剩余数中最小的3留下，将它的倍数全部划掉；继续将剩余数中最小的5留下，将它的倍数全部划掉，┅，以此直至划无可划为止。这个过程就好像一遍又一遍的筛掉不需要的数字，故名筛法。即：
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.。。。。。。，所有自然数中的正整数n, 把其中：2.3.5.7。11.13.17.。。。。。。，中的 素数的倍数 ：
2的倍数：“4.6.8.10.12.14..。。。。。。，
3的倍数：9。15.21.27.33.39.。。。。。。，
5的倍数：25,35,45,55.65，。。。。。。，
7的倍数：49,77，91,119,133，。。。。。。，
。。。。。。，
一一筛去 。而剩下的：1.3.5.7。11.13.17.。。。。。，就是所求素数。这就意味着对 于自然数中的所有正整数n 都要试商素因子。这正如有人所说，不知要试到何年何月。
有没有简单的求取方法呢？我通过多年研究，终获成功。即：素数的方阵求取法，应用此方阵求法，可以求出自然数中的任一正整数所含素数 p 与p的平方之间所含素数，现综述于下。
对于：1.3.5.7.9.11.13.15.17.。。。。。。自然数中的所有正整数中的奇数n而言，首先以它的第一个奇素数 p 按每一行三个数组成一个 3p 士2的方阵式（1）
即：（1）  2      -     3p     +     2  
      1             3           5     
      7             9          11
     13            15          17
     19            21          23
     25*           27          29
     31            33          35*
     37            39          41
     43            45          47
     49            51          53
     55            57          59
   。    。    。    。    。    。
从上面方阵的排列中可以看出：素数3的所有倍数都被排在了中间，即可把中间一列3的倍数筛去，从而得出3的平方9以下3. 5. 7.三个 素数。并且可以看出，筛去3的倍数，等于去掉全式量的1／3.。
从以上方阵的上下排列中可以看出，从5的第一个倍数始，每隔5个数还是一个5的倍数，如：第一列： 25， 55。。。。。。，第二列 15,45。。。。。。.第三列：5,35。。。。。。. 并且上下相邻俩数相差6，如：第一列： 7  -  1 =  6， 13  -  7  =  6。。。。。。，第二列  9  -  3  =  6,15  -  9  =  6.。。。。。，第三列：11  -  5  =  6 ， 17  -  11  =  6 。。。。。。，由此可以把以上筛去中间一列后剩下的左右两列分别以5p  士   6 式，组成 ( 2 ) . ( 3 ) 两个方阵。
即（2）6      -      5p      +      6                                       
                                      1      7*
         13     19     25      3     37
        43     49*    55     61     67
        73     79     85     91*    97
      103    109    115    121    127
    133*   139    145    151    157
    163    169    175 *  181    187
    193    199    205    211    217*   
    223    229    235    241    247
    253    259*   265    271    277
    283    289    295    301    307  
    313    319    325    331    337
    343*   349    355    361    367
     373    379    385*   391    397
     。    。    。      。     ，      。

（3） 6       -       ５ｎ       +       6  
                   ５       11     17
23        29       35 *     41     47
53        59       65       71    77*
83        89       95      101    107
113      119*     125      131    137
143      149      155      161*   167
173      179      185      191    197
203*     209      215      221    227
233      239      245*     251    257
263      269      275      281   287*
293      299      305      311    317
323      329*     335      341    347
353      359      365      371*   377
383      389      395      401    407
413*     419      425      431    437
。    。    。     。        。
从上面方阵的排列中可以看出：素数5的所有倍数都被排在了中间，即可把中间一列5的倍数筛去，从而得出5的平方25以下3. 5. 7.11。13.17.19.23.八个 素数。并且可以看出，筛去5的倍数，等于去掉3的倍数后所剩量的1／5。
从以上方阵的上下排列中可以看出，从7的第一个倍数始，如：( 2 )式， 第一列：133. 343 。。。。。。，第二列 49， 259。。。。。。.第四列：91， 301。。。。。。.第五列：7， 217，。。。。。。，（ 3 ）式，第一列：203， 413.。。。。。。，第二列：119， 329.。。。。。。，第四列161， 371.。。。。。，第五列77， 287.。。。。。。， 并且上下相邻两数相差30，如：（  2  ）式第一列： 43  -  13  =  30。。。。。。，第二列 ： 49  -  *19  =  30。。。。。，第三列： 55  -  25  =  30。。。。。。，第四列： 31  -  1  =  30.。。。。。。，第五列： 37  -  7  =  30 。。。。。。，（ 3 ）式 （ 略 ）。由此可以把以上筛去中间一列后剩下的左右四列，分别以7n  士 30的形式，组成八个方阵。现仅列出以7为头的第一个方阵（ 4 ）式为例。
即：（4）30      -      7n       +        30
                  7    37    67    97
127  157  187*  217   247   277   307 337  367  397  427   457   487   517*
547  577  607   637   667   697   727
757  787  817  847*   877   907   937
967  997  1027  1057  1087  111  1147
1177*1207 1237  1267  1297  1327 1357
1387 1417 1447 1477 1507* 1537 1567
1597 1627*1657 1687 1717  1747 1777
1807 1837 1867 1897 1927  1957 1987
2017 2047 2077 2107 2137  2167* 2197
2227 2257 2287 2317 2347  2377  2407
2437 2467 2497*2527 2557  2587  2617
2647 2677 2707 2737 2767  2797  2827*
。    。    。        。    。    。
从上面方阵的排列中可以看出：素数7的所有倍数都被排在了中间，即可把中间一列7的倍数筛去，从而得出7的平方49.以下7.11.13.17.19.23.29.31. 37.  41.43.47.素数。并且可以看出，筛去7的倍数，等于去掉5的倍数后所剩量的1／7。
从以上方阵的上下排列中可以看出，从11的第一个倍数始，每隔11个数还是一个11的倍数，如：例式， 第一列：1177. 3487 。。。。。。，第二列 ：1837. 4147 。。。。。。.第三列：187. 2497.。。。。。。.第四列：847. 3157，。。。。。。， 第五列：1057. 3187.。。。。。。，第六列：2167.4477.。。。。。。，第七列：517. 2827.。。。。。，并且上下相邻两数相差210，如：例式第一列：4327  -  411 7  =  210。。。。。。，第二列： 4357  -4147  =
210 ，第三列：4387  -  4117 =  210， 第四列：4417  -4207  =  210， 第五列：4447  -  4237  =  210.。。。。。。，第六列：4477  -  4267  =  210。。。。。。，第七列：4507   -  4297  =  210.。。。。。。，由此可以把以上筛去中间一列后剩下的左右六列分别以11p  士 210 的形式，组成四十八个方阵。。。。。。。。

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欧几里得（Euclid）
大约生活于公元前300年，欧几里得被称作“几何之父”。他的代表作《几何原本》是史上最伟大的数学巨作之一，
欧几里德在大约公元前300年，就漂亮地证明了素数有无数个，从此人们开始了寻找素数公式的历程
大数学家欧拉在给丹尼尔•伯努利的一封信中写道："素数的计算公式，在我们这辈子可能找不到了。不过，我还是想用一个式子来表达它，但并不能表示出所有素数。n^2-n+41，n等于1到40"。
欧拉给出的这个多项式，在n=41时失效了，后来哥德巴赫给欧拉的信中提到："一个整系数多项式，是不可能对所有整数取到素数的，但有些多项式可以得到很多素数。"