欧拉幸运数

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/07/09 00:13am 第 1 次编辑]

若正整数 n > 1 使得  m^2 - m + n 是素数 (m = 2,...,n-1), 则称 n 为欧拉幸运数。
试证明欧拉幸运数是素数。

LLZ2008

m=3,n=77,m^2 - m + n =9-3+77=83,83是素数，77是合数，结论不成立。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/07/09 00:16am 第 1 次编辑]

下面引用由LLZ2008在 2010/07/09 06:56am 发表的内容： m=3,n=77,m^2 - m + n =9-3+77=83,83是素数，77是合数，结论不成立。

要求对任意满足 2 <= m < n 的整数m, m^2 - m + n 都是素数。

elimqiu

7 是素数但不是幸运数。所以素数不都是幸运数。
幸运数有无穷多个吗？

申一言

证
   由题意知：
            （1） mˇ2-m+n=Pn，因为n是素数令n=Qn
         则
            mˇ2-m+Qn=Pn
            mˇ2-m=Pn-Qn
            m(m-1)=2a
   因此 m=2b, b=1,2,3,,,
   当：
        1. b=1,m=2,n=3   Pn=5
        2. b=2,m=4,n=5   Pn=17
        3. b=3,m=6,n=7   Pn=37
        4. b=4,m=8,n=11  Pn=47
        5. b=5,m=10,n=13,Pn=103
        *   *    *   *     *
        *   *    *   *     *
        *   *    *   *     *
  当b=i时，m=2i,
  即   （2i）ˇ2-2i+n=Pn，是素数，那么必然有n=Qn为素数时（即奇数）
        2i（2i-1）=Pn-n=Pn-Qn=2a,才能成立！
  当 b=i+1时，m=2(i+1),
  即
    [2（i+1）]ˇ2-2（i+1）+n=Pn ，当n=Qn是素数时，
  那么
    2（i+1）[2(i+1)-1]=Pn-n=Pn-Qn=2a
    2(i+1)(2i+1)=2a
必然也成立！
即欧拉幸运数n是素数。
               证毕。

elimqiu

下面引用由申一言在 2010/07/09 09:42am 发表的内容：
...
因此 m=2b, b=1,2,3,,,

错了。

luyuanhong

此题证明如下：

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2010/07/09 09:13pm 第 1 次编辑]

   mˇ2-m+n=Pn,
   m(m-1)=Pn-41
   2(2-1)=43-41
  m(m-1)=47-41
  3(3-1)=6
  m=3=P
  mˇ2-m+n=9-3+41=6+41=47（合数吗？？？？？？？）
                   ????????????????????????????????????

申一言

下面引用由elimqiu在 2010/07/09 08:13am 发表的内容：
错了。

     有意思？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

熊一兵

有意思，收入QQ空间了！
7 是素数但不是幸运数。所以素数不都是幸运数。
幸运数有无穷多个吗？
这个问题，《概率素数论》应能解决，可能仅有限个，