[loga(x)]^2+[loga(y)]^2-loga[(xy)^2]≤2 ，loga(y)≥1 ，求 loga(x^2 y) 的取值范围

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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loga(xy)^2=2loga(xy)=2loga(x)+2loga(y)
X^2+Y^2-2X-2Y≤2
(X-1)^2+(Y-1)^2≤4
X=2cost+1

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loga(xy)^2=2loga(xy)=2loga(x)+2loga(y)
X^2+Y^2-2X-2Y≤2
(X-1)^2+(Y-1)^2≤4
X=2cost+1
Y=2sint+1≥1
t∈[2nπ，(2n+1)π]
k=2X+Y=4cost+2+2sint+1=2sint+4cost+3=2√5sin(t+arctan2)+3∈[-1，3+2√5]

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∵t∈[2nπ，(2n+1)π]
∴t+arctan2∈[2nπ+arctan2，(2n+1)πarctan2]
∴sin(t+arctan2)max=sin(2nπ+π/2)=1
而sin(t+arctan2)min=sin[(2n+1)π+arctan2]=-2/√5

luyucheng1

3楼的答案是正确的。最小值不能用极值方法求。又不好贴附图了。

luyucheng1

最大值可以按照边界条件求。

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这题其实不难的

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(X-1)^2+(Y-1)^2≤4是圆心为(1,1)半径为2的圆及其内部
由于2X+Y是取X、Y二者的正相关，所以其最大值和最小值应该都在圆周上，而不会在圆内部
若是算2X-Y就不能这样算了，其范围可能会在圆内

luyucheng1

-2/√5>-1  ,  显然是不正确的。2logx取-2，logy取1，是满足题目条件的。

luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。