八评华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》 ——上元积年荒谬。 倪则均，2015年5月30日。

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1，上元积年的来历问题。
古人治历，首重历元，所以司马迁在其《史记》“历书”说：“建历之本，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天以定分至，三者有程，则历可成也”。我国的古代历法认为：年始于冬至，月始于朔旦，日始于夜半。甲子日夜半朔旦冬至，其时日分、月分、甲子、食分乃至日月五星行度均同，以此作为历法中节气、朔望、日月食和五星的共同起算点，是为上元。所谓立元是指找出“日月五星同度，如合壁连珠然”的那一天。这一天与历法起算日之间的时间差，被称之为“上元积年”。我国古代认为日、月、金、木、水、火、土七个星球，都是环绕我们地球在同一个平面上作圆周运转的。于是他们设想世界起始之时，这七个星球是连成一线的，因此，推算“上元积年”的目的，实际上是幻想找到世界起始之时。
现在我们知道，地球以及金、木、水、火、土五个星球，都是环绕太阳运转的，只有月亮是环绕地球运转的。并且它们的运行轨迹不仅不是圆形的，而且也不是都在同一个平面上。因此，我们认为“日月五星同度，如合壁连珠然”纯属幻想，推算“上元积年”只是一种设想而已。当然，这些编历者心里都清楚，所谓的推算“上元积年”，完全是为了胡乱欺骗皇帝。皇帝心里也明白，所谓的推算“上元积年”，完全是为了愚弄他手下的臣民，正所谓是大家全都心照不宣，谁都知道这个把戏是不能戳穿的。
华罗庚在其《从祖冲之的圆周率谈起》的第十节上说：“今年（1962年）2月5日那天，正当我们欢度春节的时候，天空中出现了一个非常罕见的现象，那就是金、木、水、火、土五大行星在同一方向上出现，而且就在这方向上日食也正好发生。这种现象称为‘日月合璧，五星连珠，七曜同宫’，这是几百年才出现一次的现象。……。关于这种现象，远在二千多年前，我国历史上就有了记载。在《汉书》律历志上是这样写的：‘复复太初历，晦朔弦望皆最密，日月如合璧，五星如连珠，’而且还有一个注：‘太初上元甲子夜半朔旦冬至时，七曜皆会聚斗牵牛分度，夜尽如合璧连珠。’太初是汉武帝的年号，在公元前104年。”
由于“上元积年”只能运用《孙子算经》里的孙子算法予以推算，因此出现“上元积年”的上限，不会超过《孙子算经》的面世。不少人认为“上元积年”起始于“三统历”，显然这是不对的，因为“三统历”编制者刘歆，他的父亲刘向还比司马迁小了上百岁。西汉最早的“太初历”也只是与《史记》出于同一个时代。《周髀算经》应该也是我国较早的一部历书，但是其中却没有“上元积年”的内容，《周髀》只是说：“古者包牺、神农制造为历，度元之始，见三光未如其则；日月列星，未有分度。日主昼，月主夜，昼夜为一日。日月俱起建星。月行疾，日行迟，日月相逐于二十九日、三十日间，而日行天二十九度余，未有定分。……，于是日行天七十六周，月行天千一十六周，及合于建星。”
2，绝对聪明的人也会做出绝对愚蠢的傻事。
祖冲之在数学上实在是一个十分少见的天才，似乎具有一种极为特殊的悟性，不少极其困难的问题，他却能找到出人意料的解答。在天文学上，祖冲之同样具有非比一般的真知灼见，据说为了得到更为精确的天文数据，许多测量工具都是他自己制造的。然而，对于历法来说，祖冲之应该是一个不折不扣的外行，做了许多的蠢事。
“岁差”现象，是由东晋成帝时的虞喜，于公元330年首先发现。所谓“岁差”是指地球每绕太阳一周，冬至点就要稍稍后退一点，也就是向西移一点。由于何承天的“元嘉历”对于冬至的测算有误，祖冲之打算新编一部《大明历》，把前人发现的“岁差”现象纳入进去，以使历法更加准确，这样的想法当然无可非议。将“岁差”应用于编历，确实是祖冲之首倡，但是他将“岁差”定为每四十六年相差一度，与今测七十一年八个月之数，误差实在太大。
然而，祖冲之根据他所实测到的一个回归年，为365.24281481日，比现代测算的数值仅差46秒。就认为他的《大明历》，一定要按照391年144闰的新闰法去编制。显然，这是一种不切实际的胡思乱想，他根本不知道19年7闰的具体做法，以及大小月的分布问题，已经是一个极其困难的问题，我国的历法专家研究了上千年，都未能妥善解决好这个问题，那么他的391年144闰，又该如何实施，似乎根本没有认真予以思考。
祖冲之实际测量的出交月点（即月球两次经过白道与黄道之交点）的时间为27.21223日，与现代测定的27.21222日相差不到1秒。他所推算出的岁星（即木星）周期为11.859年，（又说11.858）与今测的11.86年极为接近。于是祖冲之认为他的《大明历》，一定要真正的按照日月五星的运行周期，推算出真正的上元积年。他的这个上元积年应该不是为了胡弄皇帝，也不是为了愚弄百姓。
何承天（公元370—447年）是一位稍早于祖冲之的历法家，他所编制的元嘉历，尽管还保留了上元积年的名分，但是却作了较大的改进，应该说何承天采用的是“调日法”。祖冲之以后的不少历法家，更是大胆撇开了这种荒谬的上元积年，直接采用较为简洁的“插值法”作编历了。因此，祖冲之的上元积年，可谓是超级的荒谬，他的《大明历》，无疑是绝对聪明的人也会做出的绝对愚蠢的傻事。
更其可悲的是，祖冲之竟然将自己的荒谬看成是真理，对于批评他的正确意见反而认为是攻击，一直耿耿于怀，简直就象胡搅蛮缠的无懒。当时有一个叫做巢尚之的大臣出来对祖冲之表示支持，他说《大明历》是祖冲之多年研究的成果，根据大明历来推算元嘉十三年（436年）到大明三年（459年）这二十四年所发生的四次月食都很准确。然而，这段时间所发生的日食和月食该有上百次，仅仅算对了百分之四，是没有什么可值得炫耀的。
3，超级荒谬之中居然还会隐藏着一块瑰宝。
笔者一直希望能找到祖冲之对于他的上元积年的具体算法，现在终于在王渝生的《中国算学史》上找到了。看来王渝生也是照抄照搬了别人的研究成果，他自己根本没有深入研究，当然不会知道这个成果是否存在问题。由于我们的研究目标不是历法，所以历法方面的问题一时搞不清楚，也没有什么关系。然而，下面的数学问题却是含糊不得，必须真正地理解透彻，否则隐藏在其中的珍宝，我们还是不能获得。或许下面的数学问题，正是天文历法专家们所不易搞清的问题。
“解：设n为朔积日，即得
39491n≡12200633（mod 14424664），
≡6214717（mod 15753082），
≡1033621（mod 30804196），
≡12694549（mod 14930354），
≡661341（mod 23060014），
≡3681345（mod 4576204）。
26377n≡291775（mod 726810），
≡96169（mod 717777）。            （9）
经整理后，得
n≡4544931（mod 14424664），
≡3216513（mod 15753082），
≡18969595（mod 30804196），
≡4039241（mod 14930354），
≡18969595（mod 23060014），
≡664779（mod 4576204），
≡72535（mod 726810），
≡307393（mod 717777）。               （10）
以上便和《孙子算经》物不知数题题意相同，可以按孙子定理求解。但若仔细观察和分析，便可发现（10）之第三式和第五式的余数相同，即取它为n，经试算后恰能满足其余几式，然而，李文林和袁向东却认为：“祖冲之很可能要利用一些特殊的数据来消去一些方程，不一定就是解十个同余式（《科学史文集》第三辑，第75页）”，而得到朔积日n=18969595日的。
而朔积月为（18969595+2386/3939）×3939/116321=642371
朔积年则为（642371+271/391）×391/4836=51937。此与大明历载上元积年数合。”
显而易见，上述八个联列同余式组（9），是祖冲之推算上元积年的基本算式。然而上面说八个联列同余式组（10），是由（9）整理而得，显然这是一个误导，因为不管如何的整理（9），都是不可能立即轻易得到（10）的。其实，式（10）是祖冲之解开式（9），得知n=18969595之后，对于式（9）所作的统一表示，因为原先的式（9），是由二个联列同余式组所组成，其中一个是六个联列同余式组，另一个则是二个联列同余式组。
因此，李文林和袁向东仅根据（10）之第三式和第五式的余数都是18969595，就断定n=18969595也是错的。当然，n确实等于18969595，但是这种判断方法却是错的。由于在这八个同余式组里，前七个同余式的模数具有最大公约数2，后二个同余式的模数具有最大公约数3，所以这是一个完整的“孙子算法”，是祖冲之超级荒谬的“上元积年”之中，所隐藏着的一块数学瑰宝。南宋的秦九韶不仅将这个完整的“孙子算法”从历法之中分离了出来，这个完整的“孙子算法”于1852年，由英国传教士伟烈亚力传到欧洲，被称为“中国剩余定理”。