数学悖论：证明半圆的面积等于整圆的面积

门外汉

我们在小学数学课时便已熟知圆面积的计算公式，为πr^2（π乘以圆半径r的平方），这个公式是如何推导出来的?其中的一个方法如下图所示:

将圆分为上下两个半圆，均分为无穷多个小扇形再变形拼合，得到一个长为圆周一半（πr），宽为圆半径r的长方形，长方形的面积正好等于圆的面积，因此圆的面积为πr^2。
以上推导方法经检验不存在逻辑错误，但是，如果用与之相类似的方法推导出半圆的面积同样等于πr^2，则出现半圆的面积等于整圆面积的矛盾，数学的逻辑基础彻底崩塌。
下面给出半圆的面积等于πr^2的证明方法，先上图:

参照上图，图1中，给出一个半径为r的圆，过圆心o做圆的直径ab将圆水平分割为上下两个半圆，半圆的面积为整圆面积的一半。
图2中，只保留上半圆，并做如下的操作:从圆心o点处做圆的半径，一一连接半圆弧ab上的所有点，这样的半径有无穷条，在图中，只画出了一部分半径，但要求半圆弧上的任意一点上都要做出半径与o点相连，无一点遗漏，这样，所有的半径完全覆盖了半圆的全部面积。
图3中，做出一个长方形abcd，使长方形的长等于半圆的弧长ab（整圆周长为2πr，则半圆弧长为πr），宽等于半圆的半径r，并做如下的操作:在上边ab的任意一点上做出下边cd的垂线，这样的垂线有无穷多条，在图中，只画出了一部分的垂线，但要求从ab的任意一点上都要做出垂线，无一点遗漏，这样，所有的垂线完全覆盖了长方形的全部面积。
接下来，将半圆所有的半径与长方形所有的垂线一一做上标记，例如，半径oa标记为ra，ob标记为rb，从圆弧上实数1点所做出的半径记为r1，实数2点所做出的半径记为r2，实数1.5所做出的半径记为r1.5……，即所有的半径以圆周上所对应的实数来命名；长方形的所有垂线的命名方法与此相同:例如长方形左宽边ad记为ha，右宽边bc记为hb，从上边ab的实数1点做出的垂线记为h1，实数2点所做出的垂线记为h2，实数1.5所做出的垂线记为h1.5……即所有的垂线以上边ab所对应的实数来命名。
接下来，做半圆所有半径与长方形所有垂线之间的一一映射覆盖，映射法则为:f（x）=x，例如:将半圆上标记为ra的半径映射覆盖到长方形的标记为ha的垂线上，将标记为rb的半径映射覆盖到标记为hb的垂线上，r1.5的半径映射覆盖到标记为h1.5的垂线上……
由于半圆弧长ab与长方形上边长ab相等，所以半圆弧上的所有点与长方形边长上的所有点严格的一一对应，则操作结果为:半圆的所有半径与长方形的所有垂线一一映射覆盖，即，半圆的所有半径完全覆盖了长方形的所有垂线。
由于半圆的所有半径完全覆盖了半圆的全部面积，而长方形的所有垂线完全覆盖了长方形的所有面积，而此时半圆的所有半径完全覆盖长方形的所有垂线，则，半圆的面积等于长方形的面积，即半圆的面积等于πr^2。
但这显然是矛盾的，因为从前推导出整圆的面积为πr^2，如果半圆的面积也为πr^2，则有半圆的面积等于整圆的面积，即有部分等于整体，这实为一个悖论。

OGCB

老兄你真的优秀

elim

楼主的论说用到了一种面积的算法，这个算法不能从面积的定义推出。故所得矛盾反映的是楼主的算法错误。