定义 f(n) =| {(u,v)∈ N × N: u^2 + v^2 = n^2}|. 证明 f 无上界

elim · 发表于 2015-6-1 08:20

本帖最后由 elim 于 2015-5-31 17:24 编辑

elim · 发表于 2015-6-1 21:48

这个问题等价于说同弦的勾股数组可以任意多：

若 x^2 + y^2 = c^2 的整解的个数是 N(c) ，则

lim sup N(c) = ∞
c →∞

luyuanhong · 发表于 2015-6-2 11:41

elim · 发表于 2015-6-2 12:04

楼上陆老师的解很好，收藏了。谢谢！

luyuanhong · 发表于 2015-6-2 16:00

本帖最后由 luyuanhong 于 2015-6-2 16:04 编辑

补充说明一点。

在第 2 楼证明中我说：“因为 Un,Vn 互质，所以 Un,Vn 必定一奇一偶”，

为什么 Un,Vn 不可能是两个奇数？

因为如果 Un,Vn 是两个奇数，则 Un^2，Vn^2 必定是两个 4k+1 类型的奇数，

Un^2+Vn^2 必定是一个 4k+2 类型的偶数，这样的偶数不可能是一个完全平方数，

与 Un^2+Vn^2=Rn^2 矛盾。所以， Un,Vn 不可能是两个奇数。

elim · 发表于 2015-6-4 07:33

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定义 f(n) =| {(u,v)∈ N × N: u^2 + v^2 = n^2}|. 证明 f 无上界

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