3—正则平面图可3—边着色和可4—面着色的证明

雷明85639720

3—正则平面图可3—边着色和可4—面着色的证明
雷  明
（二○一五年六月五日）

1、3—正则平面图可3—边着色的证明
由于图的边着色就是对其线图的顶点着色，因为线图的密度等于原图的最大度，而3—正则平面图的最大度是3，所以3—正则图的线图的密度是3，其色数也决不会小于3；又因为线图的顶点就是原图的边，而3—正则平面图的每条边均是连接着4条边，所以3—正则平面图的线图是一个4—正则的平面图，并且图中最大只可能有4—轮，而没有任何奇轮，不可能有不可同化道路，所以该图的色数一定也不会大于3。这就证明了3—正则平面图都是可3—边着色的，且其3—边着色与该图是不是可哈密顿的是没有什么关系的。
2、3—正则平面图是可4—面着色的证明
一个可3—边着色的3—正则平面图的每一个顶点都是连接着分别用1、2、3三种颜色着色的三条边，任两种颜色的边都构成了若干个边二色圈图，并把全图分成了若干部分。
现在我们用颜色重叠来进行证明：所谓颜色重叠就是两种颜色重叠后所形成的颜色。
我们先把3—正则平面图中由1、2两色构成的边二色圈所分成的各部分相间的分别着以a，b两种颜色，然后再把图中由1、3两色构成的边二色圈所分成的各部分相间的分别着以a，d两种颜色。两种边二色圈的并就是图中所有的边，构成了整个3—正则平面图。

两次染色颜色的重叠，共形成了ac、ad、bc、bd四种颜色。这时图中所有的面都有染了这四种重叠色中不同的颜色，且相邻面具有不同的颜色。
图1，a是一个3—正则平面图，取1、2两色构成的边二色圈得图1，b，该1—2圈只有一条，对被其分成的两个部分分别染以a色和b色。再取2、3两色构成的边二色圈得图1，c，该2—3圈共有两条，对被其分成的各个部分分别相间的染以c色和d色。把图1，b和图1，c重叠在一起，就得到了整的个3—正则平面图（如图1，d），各个面的重叠色分别是ac，ad，bc和bd，两相邻面间具有不同的颜色。如果把ac用A（红）色代替，把ad用B（兰）色代替，把bc用C（黄）色代替，把bd用D（绿）色代替，则着色后的图如图2，a和图2，b所示。

这种证明方法，基本类似以韦斯特和徐俊杰的证明方法，但又有所不同。韦斯特的方法说得糊里糊涂，看不明白；徐俊杰的证明虽明白，但没有讲清只要两种边二色圈重叠就可以得到原3—正则平面图，且图中所有的面均已染上了由两咱不同颜色重叠而得到的一种颜色。使读者容易发出为什么不把第三种边二色圈也重叠一次的凝问，其实这一重叠是多举一次的，因为两次重叠就已经得到原3—正则平面图了。
3、四色猜测的证明
平面图的面着色就是对其对偶图的顶点着色。既然任意的3—正则图都是可4—面着色的，那么它的对偶图也就是可4—（顶点）着色的。因为3—正则图的对偶图是一个极大图，所以极大图也是可4—着色的。把一个极大图通过减边或去顶，可以得到任意的平面图，其色数只会减少而不会增加，所以任意的平面图也一定是可4—着色的。这就证明了四色猜测，四色猜测是正确的。
4、如何理解泰特（Tait）的想法
泰特的想法是：3—正则图是可3—边着色时，则其也是可4—面着色的；相反，3—正则图是可4—面着色时，则其也是可3—边着色的。现在的文献资料上都把这一想法直接说成是泰特定理。我认为不妥。因为目前仍认为四色猜测是没有被证明是正确还是错误。如果说泰特的想法已是“定理”，那么就是说3—正则平面图一定是4—面着色的，则地图（也是3—正则平面图）也一定是可4—面着色的，这就相当于说地图四色猜测是正确的。那么3—正则图的对偶图（极大图平面图），以及由极大图通过减边或去点得到的任意平面图都是可4—（顶点）着色的。这些与上面说的四色猜测还没有被证明就成了矛盾。所以我认为泰特的想法只是一个猜想：3—正则平面图是可3—边着色的，也是可4—面着色的。这不就是地图四色猜测吗，不过只是把地图说成了3—正则平面图而已。
对泰特这一想法的证明就是我们以上的两个证明，说明泰特的猜 想是正确的。不但证明了泰特的这一猜想是正确的，而且通过泰特猜想也证明了四色猜测也是正确的。
在韦斯特的书中一直都是在认为四色猜测未被证明是正确与否的。他既然证明了所谓的“泰特定理”是正确的，他却又在寻找着与四色猜测等价的Tait着色，这不也成了矛盾了吗。
我认为这里的证明程序应是：①先证明3—正则平面图是可3—边着色的；②再证明可3—边着色的平面图（地图）是可4—面着色的；③再证明极大平面图是可4—面着色的；④再证明任意平面图是可4—着色的。就证明了四色猜测是正确的。整个证明与3—正则平面图是不是可哈密顿是没有任何关系的。

雷  明
二○一五年六月五日于长安

注：此文已于二○一五年六月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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有网友11223344提出不一定所有的3—正则平面图都是可3—边着色的，所以我这个证明可能就是失败的。但对于可3—边着色的3—正则平面图来说，它则一定是可4—面着色的。但这并不代表所有的3—正则平面图（地图）都一定是也是可4—面着色的，所以猜测还是没有被证明是正确的。