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无穷是无有穷尽、无有终了的意思。所有无尽小数0.A1A2A3……都是写不到底的事物,它们不能被看做定数;但可以由此写出无穷数列0.A1 , 0.A1A2 ,0.A1A2A3 ,……。这种数列是以有理数为项的柯西数列,这种数列是康托儿在他的实数理论中提出的数列; 这种数列都有一个实数为其极限;而数列中的数都是其极限的近似值,其中第n项的误差不超过1/10^n。所以,我称这个数列是其极限的全能近似值数列,并称无尽小数0.A1A2A3……是这种数列的简写。设其极限为α,可以记α~0.A1A2A3……,符号~叫做全能近似相等。从这个表达式中可以得到近似等式序列:α≈0.A1 ,误差界是1/10;α≈0.A1A2 ,误差界是1/10^2;α≈0.A1A2……An ,误差界是1/10^n;……。
每一个实数都有它全能近似值数列;两个实数之间的四则运算是其全能近似值数列之间的逐项加、减、乘、除运算所得的收敛数列的极限。例如:根号2减去1/3的运算是它们的全能近似值数列逐项相减所得的收敛数列1.1,1.08,1.081,1.0809,……的极限。详细论述请参看曹俊云、杨健辉著《全能近似分析数学理论基础及其应用》(中国水利水电出版社1009年出版)、曹俊云、曹凯的论文——无穷的概念与实数理论问题(发表在理论数学2012年2卷4期)
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