现行数学中实数的十进制和p进制表示

elimqiu

我觉得有必要单独开一个专题来谈这个问题。这样至少可以减少重复的帖子。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/07/20 02:19pm 第 1 次编辑]

一般的p进制纯无限小数表达式的定义： 给定正整数p (>1)，如果数列 {An} 满足 0 ≤ An < p, n = 1,2,…， 则称表达式
0.A1A2A3… = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n)
&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;n→∞
为一个p进制纯无限小数。
当An = 0, n > m 对某m ≥1 成立时， A.A1A2A3…Am… &#160;叫做有限小数，简记为A.A1A2A3…Am
这里A是一个p进制整数(A = B0+B1·p + … + Bv·p^v)。所以有限小数是一种特别的无限小数的特别表达。
于是当Am < p-1, An = p-1, n > m 对某 m 成立时, A.A1A2A3…Am…=A.A1A1A2A3…(Am+1)
例如 0.2 = 0.1999…， 1 = 0.999… 等等。
对给定整数p>1, 非负整数A及小于p的非负整数序列{An}, A.A1A2A3… 是实数的一种通用表达方式。叫作p进制小数表达式。一般若无特别声明，默认 p=10
在这个现行数学的小数定义中，根据现行实数理论，不难推出下列几点：
(1) 0.33333… = 1/3
(2) 任何小数都是常数。无限小数是小数，所以是常数。
(3) 在任何进制中，纯无限小数对应与单位线段[0，1]的点。毫无遗漏。所以[0，1]被纯无限小数所表示的实数所充满。
[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
实数的p进制表示法实质上是实数在p进制数轴上的定位法。

elimqiu

如上，小数是实数的诸多表达方式的一种。不难证明整数可以表达成小数的形式。
实数通常有哪些可能的表达方式？
张三出示身份证不等于张三就是身份证，我们不能因为作为实数的一个类的整数可以表达成小数的形式，就说整数就是实数的表达方式。这种混乱的逻辑简称狗屎堆逻辑。

elimqiu

给定正整数p (>1)，如果数列 {An} 满足 0 ≤ An < p, n = 1,2,…， 则称表达式
0.A1A2A3… = sup { A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n | n = 1,2,…}
为一个p进制纯无限小数。
不难证明，这和前面一般的p进制纯无限小数表达式的定义是等价的。

elimqiu

没有一个思路清楚，懂得实数的人会认为实数理论不属于数学基础。
没有一个思路清楚，懂得实数的人会认为实数理论可以离开极限理论。
只有不懂实数，不懂极限理论的人才可能认为极限论不属于数学基础。这样的人当然也不了解数学史。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/07/17 06:10pm 第 1 次编辑]

这个主题所介绍的小数的概念是比较形式化的。是把小数看作实数的表达方式。当我们讨论 0.333...是什么的时候，我们必须面对形式化的小数表达的问题。
另一个方法引入小数的概念是纯量化的：x = [x]+(x-[x])
[x]叫做x的整数部分。(x-[x]) 叫做 x 的 fractional part （注意不是 decimal part）, 也叫x 的小数部分。
这样引入的小数概念跟作为形式化的纯小数表达的关系是什么？ 这是一个有趣的问题。例如，按照把非零的 (x-[x]) 作为小数的路子，如何解读 &#160;0.333... ？
这个问题让我们认识到：什么是实数的问题在逻辑上必须先于什么是小数的问题。
那么什么是实数呢？ 有话在先，大道至简：
（1）事物再简单，笨人还是愚不可及；
（2）至简未必大道。
（3）实数理论对有一定数学素养的人不是太难。对没有数学素养的人很难。
我们找时间接着谈。

elimqiu

要理解现行数学的实数概念，需要先理解和接受集合论的基本概念和有理数域的存在性（完成了的无穷集合）。
记 Q 为有理数全体
戴德金的实数构造概要：
定义：Q 的一个分割是其子集所成的偶对 (A,B). 满足
(1) A ∪ B = Q
(2) A, B 皆非空
(3) B 没有最小元
(4) A 的任何元皆小于 B 的任何元
定义 Q 的全体分割所成的集合 R 叫做实数集。(模型论)
对有理数 r 定义 Ar 为不大于 r 的有理数全体， Br 是大于 r 的有理数全体，则 (Ar,Br) 是Q的一个分割，叫作有理分割。 这个分割的下集有最大数。
r ←→ (Ar,Br) 确定了一个从 Q 到 R的有理分割全体的自然一一对应。这个对应使得 Q 可以嵌入 R， 而这个嵌入又使Q的四则运算得以扩充到R上
R的元素按照下集的包含关系自然地确定了R的一个序关系。不难证明这个序关系使得R具有最小上界性。
R在上述构造下成为具有最小上界性的阿基米德域。
如有必要，我们再回到这个构造的细节上。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
不论是小数的级数解读还是上确界解读，都以实数的连续性为前提。这就是为什么实数论是数学基础的不可或缺的部分。实数论的主要内容是构造出具有最小上界性的阿基米德域。然后证明这样的域本质上只有一个。

denglongshan

期待给我们这些门外汉推荐几本有高中程度就可以读懂的实数论基础读物。

elimqiu

设 S(n) = a + a x + … + a x^(n-1)
那么 xS(n) - S(n) = a(x^n -1), 故 x ≠ 1 时有
S(n) = a (x^n -1)/(x-1)
进一步当 |x| < 1 时有无穷等比级数
a + a x + … + a x^n + … = lim_(n →∞) S(n) = a /(1-x)
取 a = 0.9, x = 0.1 就有
0.999… = 0.9 + 0.09 + 0.009 + … = 0.9 / (1- 0.1) = 1
所以 0.999… 是整数 1 的无限循环小数表示。即 0.999… 与 1 是同一个数的两种表达方式。同理有 0.333… = 1/3
这一帖介绍的是中学的内容。已经说明了基本的问题。

denglongshan

谢谢对门外汉的帮助。