八探素数与素数域——商群到底该是什么 倪则均，2015年6月29日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，关于商群的概念问题。
我们在数论里，找不到关于商群的概念，根据商群的研究内容，商群似乎应该属于组合数学方面的课题。我们在群论里，找到了关于商群的概念，然而，这个商群的概念则是从H正规子群说起的，H是群G的正规子群的充分必要条件是：对一切g∈G，Hg=gH。这里的Hg和gH是H在G中的右陪集和左陪集。这就是说，H正规子群是不可能出现在置换群之内的，因为置换群里的元素运算，是不具乘法交换律的。
群论还将G的正规子群H定义为同态核kerφ，所谓同态核kerφ是指，如果φ是群G到群G＇的同态对应，e＇是G＇的单位元。把e＇在群G中所有原象的集合{g：g∈G，φ（g）= e＇}称为同态对应φ的核，简称同态核，记为kerφ={g：g∈G，φ（g）= e＇}。这里似乎说得十分抽象，显得有点玄奥，其实，其中的道理还是比较简单的，所谓H正规子群，它应该指的是Φp素数群的剩余方阵里的，di（di∈D（p-1））次剩余里的，元素1的一个底根子群。
群论所介绍的商群的概念是，如果集合K中的元素都是陪集，即有K={Hg：g∈G}。若是我们把这种元素（陪集）的乘积定义为：（Hg1）（Hg2）=Hg1g2。（Hg1，Hg2∈K）。这里必须指出的是，商群将陪集的运算，定义为陪集代表之间的运算，然而，每一个陪集之内，都会有着许多个元素，它们全都可以作为这个陪集代表参与运算，整个运算结果，决不会由于所推选的代表的不同而有所不同。
群论武断地认为，由于集合K={Hg：g∈G}对于上面所定义的运算成群。所以这个群称为G关于其正规子群H的商群，记为G/H={Hg：g∈G}。其实，我们首先要搞清楚，陪集代表之间的运算，为什么会出现这种有趣的奇特现象，只有这样我们才能，从根本上去真正的认识商群。有趣的奇特现象，只是一种表象，我们决不能被它所误导，捡了芝麻丢了西瓜，做出舍本逐末的蠢事。
笔者觉得，群论之所以将正规子群和商群的概念，搞得如此的晦涩难懂，原因应该是多方面的。首先应该是，他们自己根本就不知道，这到底是怎么一回事，只好不懂装懂，随口乱说一统，当然说得越是晦涩难懂，也就越是不易被人戳穿。当然，或许他们也知道，这样的正规子群，只有在素数群里才会有，在他们的置换群里是决不可能存在的，但是他们能如实予以公开吗？
2，通过剩余方阵认识商群。
对于Φp（p为素数）素数群的剩余方阵来说，如果将Φp素数群的全体元素，运用原根g的不同方次表示为Φp={g^1，g^2，…，g^p-1}。那么其di（di∈D（p-1））次剩余里的全体元素为Sdi={1，g^1di，g^2di，…，g^（dj-1）di}，其数量为dj=（p-1）/di个，显然Sdi是一个循环子群，g^di是这个循环子群的生成元。
根据同样的道理，其dj（dj∈D（p-1））次剩余里的全体元素为Sdj={1，g^1dj，g^2dj，…，g^（di-1）dj}，其数量为di=（p-1）/dj个，显然，Sdj也是一个循环子群，g^dj则是这个循环子群的生成元。由于Sdj循环群里的每一个元素的di次方全都为1，因此，这个Sdj循环群，正是di次剩余里元素1的底根集合，就是群论里所说的那个正规子群。同样，由于Sdi循环群里的每一个元素的dj次方全都为1，因此，这个Sdi循环群，正是dj次剩余里元素1的底根集合，也是群论里所说的那个正规子群。
其实，Sdi={1，g^1di，g^2di，…，g^（dj-1）di}循环子群里的每一个元素，它们不仅都有一个底根集合，而且每一个底根集合里，全都各有di个底根。然而，我们只能一眼看出它们的一个底根，例如，g^1di的一个底根为g^1，g^2di的一个底根为g^2，…，g^（dj-1）di的一个底根为g^（dj-1），当然这是一个开方运算。
那么，我们又该如何根据这个易知的底根，去求取它们的其它的所有底根呢？其实方法也很简单，我们只要将这个易知的底根，去乘以那个正规子群，即可得到它们的底根集合。例如我们将g^2di的一个底根为g^2，去乘以它们的那个正规子群Sdj={1，g^1dj，g^2dj，…，g^（di-1）dj}，得到其底根集合为Ddj={g^2，g^（dj+2），g^（2d j +2），…，g^[（di-1）dj+2]}，显然，这个底根集合里的每一个底根的di次方，全都为g^2di。例如
[g^（2d j +2）]^di=g^（2d jdi+2di）≡g^2di（mod p）
由于Sdi={1，g^1di，g^2di，…，g^（dj-1）di}循环子群里的每一个元素，与其底根集合之间，全部都是一种同态关系，因此，它们的底根集合必定也是一个循环子群，所以大家都应该承认，Sdi={1，g^1di，g^2di，…，g^（dj-1）di}循环子群，才是商群的引发子群，商群的种种奇妙的有趣运算，全都来自于这个引发子群。上面我们是针对Sdj={1，g^1dj，g^2dj，…，g^（di-1）dj}为正规子群，所进行的讨论。如果以Sdi={1，g^1di，g^2di，…，g^（dj-1）di}为正规子群，情况也是大同小异。
下面不妨运用一个实例，予以更具体的说明，对于七探里的那个Φ11素数群的剩余方阵来说，其2次剩余为：S2={1，3，4，5，9}，其生成元集合为：{3，4，5，9}，其每一个元素的底根集合为：1→{1，10}，3→{5，6}≡5×{1，10}≡6×{1，10}，4→{2，9}≡2×{1，10}≡9×{1，10}，5→{4，7}≡4×{1，10}≡7×{1，10}，9→{3，8}≡3×{1，10}≡8×{1，10}（mod 11）。对于生成元3→{5，6}来说，5^2≡3，5^3≡4，5^4≡9，5^5≡1（mod 11）。或6^2≡3，6^3≡7，6^4≡9，6^5≡1（mod 11）。说明生成元3的底根集合{5，6}，也是全体底根集合里的生成元，因此，全体底根集合也是一个循环群。
3，等和划分的概念。
划分的概念在我们的中国数学里极为古老，我国的“洛书”应该是结绳文化时期的数学结晶，它是对于九个个位数的等和划分。我国的古代数学就是由“洛书”发展出了后来的“纵横图”，流传国外后变成了风靡全球的“幻方”。划分对于我们今天的数学来说，好象已经变成了一个全新的概念。张君达主编了一本《数论基础》，在其专题选讲部分3，特意介绍了整数集的划分问题。此书对于划分的定义为，设A是一个整数集，若A1，A2，…，Am是A的子集，满足
A=A1∪A2∪…∪Am，Ai∩Aj=φ，i≠j，
则称A1，A2，…，Am是A的一个划分。随后着重论述了整数集划分的和性原理，同时也简要介绍了整数集划分的积性原理，特殊子集的划分原则，和应用抽屉原理的划分等方面的知识。此文主要研究了整数集A的元素都是确知的，要去依某种条件将A划分。对此，我曾专门写了题名为“整数集的划分算法”的文章，递送“科学智慧火花”，却被莫名其妙的退稿了。
现在最流行的《离散数学》，居然也讨论了划分问题，然而，它们却将划分纳入了等价关系的范畴。它们将划分定义为：当集合A的子集族π，满足下列条件时称为A的划分：⑴对任意B∈π，B≠φ。⑵∪π=A。⑶对任意B，B＇∈π，B≠B＇时，B∩B＇=φ。约定A≠φ时只有划分φ，称π中元素为划分的单元。《离散数学》的如此做法，岂不是要制造划分概念上的混乱。
其实，Φp素数群的剩余方阵，其中的商群，就是对于Φp素数群全体元素的一种和性划分。这是因为其正规子群Sdj={1，g^1dj，g^2dj，…，g^（di-1）dj}，是一个公比为g^dj的等比级数，因此，按照等比级数求和公式得到：（g^didj-1）/（g^dj-1）≡0（mod p）。这就是说，dj（dj∈D（p-1））次剩余里的全体元素之和为0，即可以被模p整除。
由于di（di∈D（p-1））次剩余全体元素的底根集合，都是其一个易知底根，与那个和为0的正规子群的乘积，结果当然也是为0。再由于每一个底根，不可能同时为引发子群里两个元素的底根，所以全体底根集合的两两之交，必定全都为空。所以di（di∈D（p-1））次剩余全体元素的底根集合，就是对于Φp素数群全体元素，所作的一种等和划分。
这种和为0的等和划分，是针对模数p的余数而言的，对于一般情况来说，它们不是真正的等和划分。但是，只要其中存在着真正的等和划分，并且还能使它们构成一幅纵横图，那么即可说明这种和为0的等和划分，决不是无源之水。其实，对于Φ17素数群来说，其4次剩余为{1，4，13，16}，它们的四个底根集合为1→{1，4，13，16}，4→{6，7，10，11}，13→{12，14，3，5}，16→{15，9，8，2}，正好构成以下一幅四阶幻方，但是还不是一幅真正的纵横图，因为纵横图需要二条对角线上的和也为34，因此要使它成为一幅真正的纵横图，还需要再作调整。
1… 4  13  16
6… 7  10  11
12…14  3   5
15   9   8   2

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