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[watermark]迎奥运 玩数学之0
0 前言
自从北京开始申奥，我们和奥运会的联系就更加紧密起来。北京申奥成功后，奥运更是成为与我们日常生活中的息息相关的事情。层出不穷的消息、丰富多彩的活动、五颜六色的招贴、大张旗鼓的广告，随时随地地进入到我们的生活之中，提醒我们，北京奥运离我们越来越近了。
一次，当我注视到北京的奥运会徽的时候，红色的2008这个数在我大脑里快速地跳动，接着29也跳进了大脑，随后更多的数字涌进脑海。数字和奥运就这样触发了我写作数学科普的灵感。于是，我尝试着把奥运中的一些有趣的数字和一些数学知识和数学问题结合起来，看看其中有没有有趣的地方。
真正动笔的时候，一个巨大的障碍挡在了我的面前。我不是数学专业人士，何况大学毕业20年了，很多的数学知识已经离我而去，尤其是那些高等数学知识。因此，我只能把数学知识定位在初等代数学和初等几何等我熟悉的数学范围之内。不过，这也许会增加文章的读者对象，毕竟高深的数学并不是人人都乐意阅读而且能够看懂的。
不懂高等数学还有个好处是，有些数学知识和数学问题可以用多种方法来理解，有时候用初等数学来理解也能体现出解题的技巧。
我们来看两个例子。
问题1：著名的牛吃草问题。这是近代著名的大数学家牛顿在1707年提出的数学问题。
一片牧场，如果放牛27头，6天可把草吃光；如果放牛23头，9天可把草吃光；如果放牛21头，问几天可把草吃光？牛一边吃草，草一边在长。
这类问题的特点是牛多吃得快，草少长得慢，牛才能把草吃光。当然我们假定牧场上的青草，每天长得一样密一样快，牛吃的速度也不变。
解法1：算术解法。
假设每头牛每天吃草一份，根据“这片牧场供27头牛吃6天”，可知牧场共有青草27×6=162（份），又根据“或者供23头牛吃9天”，可知牧场共有青草23×9=207（份）。每天生长青草（207－162）÷（9－6）=15（份），原有青草162－15×6=72（份）。21头牛中的15头牛吃每天长出的青草，剩下的21－15=6（头）吃牧场上原有的青草，所以这片牧场可供21头牛吃72÷6=12天。
解法2：一元一次方程解法。
我们可以认为有一部分牛专门吃长出来的草，而一部分牛专门吃原有的草。由于每天长出来的草，在同一牧场上长出来的一样。所以专吃长出来草的牛的头数是固定的，可设有X头牛专门吃长出来的草。
先解有多少头牛专门吃长出来的草。设有x头牛专门吃长出来的草。其方程为：有：6(27 –x) = 9(23–x)（为牧场上原有草数）。解得 x = 15。
再解牛21头，几天可把草吃光。设y天可把草吃光。从而出现如下方程，有：6(27–15) = Y(21–15)。解得 y = 12。所以，放牛21头，12天可把草吃光。
解法3：多元一次方程解法。
设牛每天吃草的速度为x,，草每天长的速度为y，原有草数为N，21头牛吃完草的天数为m。根据已知条件，我们得到方程组
27×6x=N+6y
23×9x=N+9y
21×mx=N+my
可以解得，
y=15x,这意味着每天长的草相当于15头牛吃1天或者1头牛吃15天。
N=72x,这意味着原有的草可供1头牛吃72天或者72头牛吃1天。
最后，得到M=12。
三种方法殊途同归，很难评议其中的高低。
但是，当我们把问题普遍化的时候，解法三就有了优势：a头牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a';头牛将b';块地上的牧草在c';天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"这9个数量之间的关系？
问题2：可怜的苍蝇与收敛的无穷级数问题
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车轮胎上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车轮胎，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的轮胎之间来回飞行，直到两辆自行车相遇，可怜的苍蝇被轮胎碾死为止。
如果每辆自行车都以每小时10英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？
解法1：我们知道的简单解法是，每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇在20英里路途的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。
解法2：据说，在一次鸡尾酒会上，有人向20世纪最伟大的数学家约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）提出这个问题，诺依曼思索片刻便给出了正确答案。提问者以为诺依曼用的是简单解法，便沮丧地说，绝大多数优秀的数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。冯·诺依曼也是一脸惊奇地说，“我用的正式无穷级数求和的方法”。
也许诺依曼说的是真的，我们就更加佩服他用高等数学解题的能力。那么，他构造了怎样的无穷级数呢？故事里没有给出，我们在这里可以列出。
假设开始两者相距S，每次相遇后所剩的距离为S1，S2，S3,……Sn，我们可以求得
为 ……依此类推。苍蝇第一次相遇已经前飞行距离 第二次相遇前分型距离为 依此类推，可以得到苍蝇每次的飞行的距离之和为一个首项为 ，比数为 的无穷等比数列的和： 。由于该级数是收敛的，最后 会趋近于0，带入s的值，同样得到了15英里的答案。
这样的解法当然要比算术解法复杂许多，但是并不意味着这样的解法就比简单的算术解法愚蠢，因为我们能从中了解更多的细节，我们清楚地知道每次相遇苍蝇飞的距离、时间。例如，如果我们要问第15次苍蝇相遇自行车的时候，它已经飞了多少路程、飞了多长时间，有了这个等比数列，问题就变得迎刃而解了。
接下来，我将用一些篇幅来介绍奥运和数学。所涉及的奥运知识包括奥运历史、开幕时间、短跑成绩提高幅度、金牌分布规律等等；所涉及到的数学知识包括整数、余数、分数、数列和级数、排列组合、概率统计等。每一个章都分为三个部分。第一部分“走近奥运”，简单地介绍一些奥运知识或者常识。介绍这些资料性的东西并不是为了人所不知的秘闻或者逸闻趣事，而是和后面的数学部分直接关联；接下来是“游览数学”，主要是介绍一些数学的知识、故事、技巧或者有趣的问题，这些内容也都经常出现在各种各样的数学教科书、数学历史书和数学故事书里，它们被一个共同的主题被集合在了一起；第三部分是“现在，来玩一下数学”，列出一些可供联系的数学题和参考答案。这些数学题中，有些是我专门针对奥运中的数字、知识而出的，例如，问题“我们能否得到这样的等差数列，他的首项为29，他的第n项为2008，公差为整数”，其中用了数字29、2008，因为2008年29届奥运会在北京召开 ；有些是由一些经典题型改变而来，只不过场景作了改变，例如把“建筑工地”改成了“奥运赛场”，把“建筑工人”换成了“奥运健儿”，其目的是增加奥运的气氛。
好了，现在让我们一起走近奥运，游览数学，待闲暇的时候再玩一下数学题吧。
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狗仔卡
发表于 2006-2-2 15:52
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