[趣题分享] 发散级数

elimqiu

若{an}为一个正数递减数列， 级数 a1+a2+... 发散，
则  min{a1,1}+min{a2,1/2}+...+min{an, 1/n}+... 发散

wangyangkee

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趣题分享，趣味在哪？

elimqiu

Try Cauchy Condensation Test[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
单调不增的正数序列 {a(n)} 所成的级数收敛，当且仅当 {2^n a(2^n)} 所成的级数收敛。
验证 {min(a(n), 1/n)} 的单调性

elimqiu

趣味在于这个很难下手的问题有一个意想不到的简单解法。

wangyangkee

[这个贴子最后由wangyangkee在 2010/07/24 06:50am 第 1 次编辑]

胡思乱想
1，调和级数1，1/2，，，，，1/n的和发散；
2，在思维中，建立两个平面坐标系：平面坐标系1，平面坐标系2；
3，在平面坐标系1中，标出点（1,a1）,(2,a2),,,,,,(n,an)；在平面坐标系2中，标出点（1,1）,(2,1/2),,,,,,(n,1/n);
4, 级数 a1+a2+... 发散,表示，在平面坐标系1中，当n趋于无穷大时，点（1,0），（1,a1）,(2,a2),,,,,,(n,an)的连线与x轴大于1的部分之间的区域的面积趋于无穷大；
5，调和级数1，1/2，，，，，1/n的和发散，表示，在平面坐标系2中，当n趋于无穷大时，点（1,1），（1, 1/2）,(2, 1/3),,,,,,(n, 1/n)的连线与x轴大于1的部分之间的区域的面积趋于无穷大；
6，在思维中，比较两级数同一序号的各项，将其a项作为分子，调和级数项作为分母；得一级数；由题设，是正项级数；因调和级数1/n趋于0；由此之该正项级数之各项不是0，不是无穷小，否则，a项级数收敛；可设其各项均大于正常数c;
7，在思维中，仿平面坐标系1，平面坐标系2，建立第3个坐标系；标出点【1， min{a1,1}】，【2，min{a2,1/2}】，，，，，，【n, min{an, 1/n}】;
显然，点【1， min{a1,1}】，【2，min{a2,1/2}】，，，，，，【n, min{an, 1/n}】的的连线与x轴大于1的部分之间的区域的面积
大于
点（1,1），（1, 1/2）,(2, 1/3),,,,,,(n, 1/n)的连线与x轴大于1的部分之间的区域的面积与c的积;  
也趋于无穷大；
即，点【1， min{a1,1}】，【2，min{a2,1/2}】，，，，，，【n, min{an, 1/n}】的的连线与x轴大于1的部分之间的区域的面积    趋于无穷大；
8，即， min{a1,1}+min{a2,1/2}+...+min{an, 1/n}+... 发散。

elimqiu

wangyangkee

楼上挺玄！
不过，级数求和，实际是求面积。

wangyangkee

elimqiu

这个c 的存在性是有问题的。

wangyangkee

回复 elimqiu 老师-----------这个c 的存在性是有问题的。--------------
elimqiu提出了c的存在问题；这个问题鄙没有交代清楚。
c是存在的，总是可以论述它的存在的；下面的陈述，可以论述它的存在，------或者，方法不是很好。
1，调和级数是发散的；
2，调和级数是介于发散与收敛的一个临界级数；这个说法，可能不合数学界的通俗说法，但可以达意；


之s小于1，收敛；此与题设矛盾。
4，由此，正常数c是存在的。