大于1的奇数3次方和5次方的特性

雁荡山

一个大于1的奇数3次方减去这个奇数必能被24整除；
一个大于1的奇数5次方减去这个奇数必能被240整除。
一个大于1的奇数7次方。。。。。。
。。。。。。

风花飘飘

不需要限制大于1，等于1都是可以的，这个恐小学生都知道呀?您限定大于1是神马意思？


((2*n-1)^3-(2*n-1))=24*y

((2*n-1)^3-(2*n-1))/24 = 【n^3/3】-【n^2/2】+【n/6】

也就是说：

y=【n^3/3】-【n^2/2】+【n/6】是个整数，这不需要证明。

风花飘飘

((2*n-1)^5-(2*n-1))=240*y

((2*n-1)^5-(2*n-1))/240 =【 2*n^5/15】-【n^4/3】+【n^3/3】-【n^2/6】+【n/30】

也就是说：

y=【 2*n^5/15】-【n^4/3】+【n^3/3】-【n^2/6】+【n/30】是个整数，这也不需要证明。

luyuanhong

雁荡山

感谢陆老师给出证明。

另是不是大于1的奇数的P次方减去本身都能被24整除吗？（P奇素数）

luyuanhong

雁荡山

谢谢陆老师给出的证明。但我有一疑问，P不是3时，这3的因子是从那里来的？

luyuanhong

当 p 是奇数时，(2n+1)^p-(2n+1) 必定含有因数 n(n+1)(2n+1) 。

不管 n 是什么整数，在 n、n+1、2n+1 这三个数中，必定有一个数是 3 的倍数。

（这一点，你可以自己试试，看有没有办法证明。）

所以，(2n+1)^p-(2n+1) 中必定含有 3 这个因子。