请教关于定积分的连续性这一性质的证明。里面好几个地方看不懂。请老师指点一下。

gaddis · 发表于 2010-7-23 19:50

先上传下在《数学分析》陈纪修版的定积分的性质后面的习题中提到的这一问题
如下：
这个式子怎么推导出来的？
暂时这三个问题堵住了，有点懵。老师能指点一下么。谢谢哦。

luyuanhong · 发表于 2010-7-24 00:16

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/24 00:21am 第 1 次编辑]

这几个问题解答如下：

gaddis · 发表于 2010-7-24 00:28

谢谢陆教授的回答
只是对第三个问题，我还是有点疑惑
因为您提到的“上是连续的
但是本题似乎没有说到这个前提呀
所以，是不是有其他的原因呢？

luyuanhong · 发表于 2010-7-24 09:32

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/24 09:35am 第 1 次编辑]

原来的积分中值定理，确实只有当 f(x) 连续时才能成立。
但是，我们可以对它做一些推广，使得推广后的积分中值定理，当 f(x) 可积时也能成立：

gaddis · 发表于 2010-7-24 15:06

谢谢陆教授的解答
您辛苦了！
非常感谢
结合您的解答，我再看了看定积分中值定理部分。发现和您说的是一个意思。
弱弱的提出一点您的小纰漏，f(x1)和f(x2)应该改为下确界m和上确界M更为合适。因为可积函数虽然有界，但未必能取到最大最小值。
不过您的思路是正确的，或者说书本上课后的这道习题不严谨。其实书本上前面的定积分中值定理介绍的就是您所说的推广后的定积分中值定理。是我刚开始学，没能深入的想到这层。
自学数学分析以来，每次有想不通的地方，或者书上有错误的地方，都是陆教授一一指点，让我茅塞顿开。昨天晚上陆教授又为我的问题留到凌晨。在此，再次表示衷心地感谢。太谢谢您了。
：）

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