数学基础及标准分析的级数和概念

elim · 发表于 2015-7-11 15:05

本帖最后由 elim 于 2015-7-12 13:48 编辑

考虑数列 {an} 即 a1, a2, a3,..... 显然对任意n, 有限项和 a1+a2+...+an 的意义是明确的。
它可以用逐项相加的方式得到，换言之，有限项和就是这些项的逐次累加的结果。

现在要问，和的概念能否合理地扩充到加项有无穷多的情形？即不管序列有限与否，有没有
一个统一的方法来界说序列的和？使得 a1+a2+a3+... 可以有确切的意义，并且与我们的
直觉和理性洽合呢？

欢迎参与讨论。

elim · 发表于 2015-7-13 04:21

本帖最后由 elim 于 2015-7-12 14:04 编辑

别看楼上这段文字似乎意义明确, 其实问题的这种提法,如果没有进一步的约定
和解释, 根本谈不出结果.

什么是数学,什么是数学意义上的存在? 这类基本问题已经可以纠缠人一生了,
还怎么谈具体的数学对象?

虽然在我看来, 数学家多多少少都是哲学家, 但数学家并不想把精力放在没完
没了的哲学争论中. 于是现代数学家对各数学分支,分别给出相应的公理,借助
公理来阐明他们对数学,数学对象, 存在, 真理检验标准等等的共识. 提供研究
的出发点和理论基础.

例如欧氏几何, 也就是通常的几何学就是如此. 那里的几何对象的意义是建立
在公理和少数不加定义的几何对象上的. 这个系统事实上成为几何研究的有效
平台及几何定理的依据和源头.  虽然尼罗河的泛滥, 鲁班的工程等也许可以被
说成是几何学的历史渊源, 但作为数学的几何学必须完全排除现实世界的测不
准性, 含糊性和特殊性,经验性(测量性), 有限性. 几何学的一切定理都不是这
些通常意义下的现实性,实践性的东西的逻辑结果.  恰恰相反,人们对现实世界
认知和实践却常常需要超越实践的几何学的指导: π, 勾股定理, 一切几何对象
及定理, 无例外地都不是通常意义下的现实世界的实践的逻辑结果: 勾股定理
不是量出来的.

人们可以通过揭示内在矛盾来推翻某种理论或某个数学系统. 但是用歪曲数学
概念, 或使用系统外的真理检验标准否定某公理,  所得出的任何结果,  却被认
为是反数学的和反理性的, 因而是反人性的.  其理由当不难理解.

elim · 发表于 2015-7-13 11:08

本帖最后由 elim 于 2015-7-13 07:14 编辑

无穷作为现代数学的公共基础的 ZFC 公理集合论中有一条叫作无穷公理的公理:

∃N: ∅∈N ∧ (∀x: x∈N ⇒ x∪{x} ∈ N )

意思是说, 含且仅含初始元, 其后继, 后继的后继, 依次类推的集合是存在的.

不难知道, 无穷公理意味着自然数全体 N 作为集合是存在的. 显然 N 不是一个有限集. 所以无穷集合存在.

不错无穷一定无有穷尽, 但是无有穷尽未必就是变量.  什么是数学的存在? 数学的存在就是确定自洽.

什么是数学的变量?  变量不过是某个集合的一般元的记号.  变量一词的另一个用法是映射的别名.
这并不导致概念混乱: 前者就是恒等映射到别名.

所以数学的变量毫不涉及物理时间.  并不随时间有确定的变化趋向.

写不到底的事物 现代数学没有"写到底"的概念, 更没有"写不到底就未完成, 就不确定"这种准则.

数学对象的存在性由某些存在公理及构成法则保证.

wangyangke · 发表于 2015-7-13 11:44

本帖最后由 wangyangke 于 2015-7-13 05:46 编辑

elim的帖子涉及曹俊云的无穷无有终了、系列、级数和等，曹俊云搞曹俊云所谓的改革，不在此面对——曹俊云的对手——elim，就是曹俊云愚蠢，，，

elim · 发表于 2015-7-13 15:20

本帖最后由 elim 于 2015-7-13 12:04 编辑

现代数学沒有"完成"的概念。所以完成在现代数学中唯一可能的解读就是存在。

为什么 "完成" 不在现代数学的词典里? 因为现代数学的对象一概是从存在公理
和构成规则得到的, 而不是有人的书写创建的. 后者根本没有可能建立任何无穷
对象. 严格地说, 枚举性的书写通过省略号可以用来表示无穷对象, 却不是创建
无穷对象. 现代数学假定按存在公理和构成法则给出的数学对象是合理地构成
的. 也只有这种构成方式是认可的, 合理的. 没有未完成的数学对象, 只有未被
认识和认识不足的数学对象. 而认识的不断进步不等于数学对象不断地变化.

wangyangke · 发表于 2015-7-13 17:41

elim的帖子涉及曹俊云的无穷无有终了、系列、级数和等，曹俊云搞曹俊云所谓的改革，不在此面对——曹俊云的对手——elim，就是曹俊云愚蠢，，，

elim · 发表于 2015-7-14 10:09

声明, jzkyllcjl 的愚蠢与本人没有关系, 这是 jzkyllcjl 的一个性质.

jzkyllcjl 隐瞒了写有限小数 0. 后面跟 10^6 个 3 写不到底的事实. 这证明他全能近似痴呆但不等于痴呆.

infind · 发表于 2015-7-15 18:10

极限是指某些变量可以永无止境地逼近的常量。
几何就是经验，直觉就是幻觉。呵呵。

wangyangke · 发表于 2015-7-16 01:53

elim的帖子涉及曹俊云的无穷无有终了、系列、级数和等，曹俊云搞曹俊云所谓的改革，不在此面对——曹俊云的对手——elim，就是曹俊云愚蠢，，，

elim · 发表于 2015-7-16 04:34

infind 发表于 2015-7-15 03:10
极限是指某些变量可以永无止境地逼近的常量。
几何就是经验，直觉就是幻觉。呵呵。

这些说法, 即使按 jzkyllcjl 的标准, 也不是理论. 当然也不是全无道理. 呵呵

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