五求素数及其幂的分拆——没有规矩不成方圆 倪则均，2015年7月19日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，远古的万能测量工具。
《周髀算经》最初应该成书于西周早期，这是一部集数学、天文、历法于一体的科学著作，其中的数学则是重点介绍了，将形与数相互融合在一起的勾股问题。《周髀算经》一开始，就假借了周公与商高之间的问答形式，介绍了万能测量工具“矩”的来历及其数学原理。接着又指出正是由于我国史前的那场特大洪水，迫使大禹开发出了“矩”的万能测量功能，由此战胜了这场特大洪水。然而，对于如此简单明了的介绍，却被我国的数史学家们，引发出了种种奇谈怪论。有人说商高实际上是证明了勾股定理，因此应该称之为商高定理，其实，商高只是介绍了勾股定理，但是他并没有严格证明勾股定理。
商高是我国商代的数学大师，周公旦是周武王的弟弟，是我国儒家的开山始祖，因此，周公与商高之间的对话完全是虚拟的。我国首先证明勾股定理的人，应该是三国时期的刘徽或赵爽。由于刘徽和赵爽的生平，全都缺乏相关的史料，因此我们不知道他们俩人，到底谁比谁更早。现在我们只知道，刘徽根据他的“割补术”运用了数形关系，证明勾股定理的几何方法，其法富有东方智慧，特色鲜明、通俗易懂。
刘徽对于他的青朱出入图作了以下描述：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。赵爽的证明更为奇特，他居然只给出了一张，没有一字说明的“弦图”，就已经作出十分严密的证明。
我国古代对于勾股问题的认识，应该首先是从勾股整数开始的，这是因为“河图”里的天数之和1+3+5+7+9=25，正是5的平方，而“洛书”正是3的平方，于是即可发现52=1+3+5+7+32=42+32。因此，我国古代首先得到这一组最小的勾股整数，应该属于顺理成章的事情，也是毋庸置疑的事情。接着就会有人发现，对于长为4宽为3的长方形来说，其对角线的长度必定为5，由此发现了几何上的勾股定理。我国古代的万能测量工具“矩”，就是勾股整数与勾股定理相结合的产物，也是我们人类首次将算术与几何，这两种完全不同的数学，融合为一体的一个尝试。
现在居然有人说，大禹运用了“矩”的万能测量功能，战胜了那场特大洪水，属于神话传说不足为信。或许这些人可以否定《周髀算经》上的文字记载，但是他们总不能无视那些已经出土的六七千年前的古村落遗址。这些人对于自己老祖宗的东西，总是喜欢百般挑剔，然而，对于外国人的东西却总是那么笃信无疑。他们相信古希腊毕达哥拉斯学派的“百牛（皮）定理”，他们相信古巴比伦人的弥天大谎。他们总是喜欢吹嘘西方数学里的，那些毫无根据胡编乱造的东西。
隋代高昌故址阿斯塔那墓室，出土了一幅彩色的绢画“伏羲女娲交尾图”，图中的伏羲右手拿着的是可以画圆的“规”，女娲的左手则是握着可以画方的“矩”。下面的那个“伏羲女娲交尾图”石刻，应该就是出土的那幅彩色绢画的原本，但是笔者一直未能找到他的出处。总之，自古以来，我们中国人是十分讲究守规矩的，不管是处世为人，还是当官做学问，都得循规蹈矩。然而，我们中国人的这些规矩，却被史无前例的“无产阶级文化大革命”，冲击得所剩无几了，打破是十分容易的，重建却是极其困难。


2，勾股整数的重大意义。
勾股问题自古至今都是最富活力的数学产物，对于勾股问题的认识与应用，可以作为衡量一个民族数理水平的标志。勾股定理的重大意义，主要表现在以下四个方面：
⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。
有人甚至认为这个问题具有“宇宙的”普遍性，可以作为“智慧生命”的标志。1820年高斯甚至建议，要在俄罗斯的西伯利亚原始森林地带，建立一个巨大无比的勾股图形，中心的直角三角形用以种植小麦，紧邻它的三边上的正方形栽上枞树。这样“外星人”用望远镜看地球时，就会了解到在我们的星球上，存在着一个理解勾股定理的智慧生物种族，而能够观察到我们的外星人也一定认识到了勾股定理，否则他们就无法制成望远镜。
1977年，美国发射了旅行者1号和2号二艘宇宙飞船，它们的任务是寻找外星文明。它们携带了二幅介绍我们地球人自己身份的图片，其中的一幅图是运用圆点所表示的四阶完全幻方。所谓四阶完全幻方是指，不仅其所有的行和列上的数字之和全为34，而且其所有斜向对折角线上的四个数的和也全都等于34。然而，这种的完美的四阶幻方，不仅显得有些臃肿，而且此图还不具唯一性。其实在所有的各阶幻方之中，只有我国最古老的“洛书”，才不仅具有唯一性，而且图形也最为简洁。
另一幅图则是《几何原本》上证明勾股定理的示图。其实此图如果改用赵爽的“弦图”，即可一并也给出一组最小的勾股整数——勾三，股四，弦五，岂不更为全面。那么，为什么美国航天局就是不肯采用更好的“弦图”和“洛书”呢？我想原因只有一个，就是因为西方数学一直都在千方百计，要想抹去中国数学对于世界数学的影响，因为，如果采用了“弦图”和“洛书”，这种影响岂不是永远都无法抹去，所以我国的“弦图”和“洛书”再好，他们也都是不肯用的。
然而，中国数学的影响能如此轻易的就抹去吗？第24届国际数学家大会，于2002年在北京召开，我国特意选择了上面赵爽的那幅“弦图”，作为大会的会标，高悬在金碧辉煌的人民大会堂的主会场上。这是不用再作任何文字说明，就能证明勾股定理的图形，这个证明方法不仅是简洁明了，直达其意，而且充分昭示了我国古代数学的博大精深，那些参加会议的外国数学家们，看到此图总不会毫无感触吧！

3，成也萧何，败也萧何。
我国黄河流域的上游一带，是广阔的黄土高原，土质疏松，便于耕作，所以那里的黄帝部落，大约在六七千年前，就已经率先进入了农牧社会，创造了它们所特有的结绳文化。“河图”和“洛书”，应该是黄帝部落传承至今的数学。大约在四千多年前，在我们的中华大地上，连续发生了两场旷日持久的十分惨烈的混战，第一场大战是涿鹿之战，第二场大战是阪泉之战，参战的三方全都付出了极其沉痛的代价。
阪泉大战之后，黄帝部落的绳结文化，长期被统治阶层所推崇，当作了他们的治国重器，蚩尤部落的刻痕文化，则散落于民间，服务于大众的日常生活，真可谓是各行其道相安无事，这种情况直到姜尚助周灭商之后，才是有所改变。《尚书•顾命》篇记录了周成王逝世时的一些情景：“赤刀，大训，弘璧，琬琰，在西序。大玉，夷玉，天球，河图在东序。”这是对于河图最早的记载。
从河图到洛书，从洛书到周易，可谓是顺理成章，因为它们都是形数融合于一体的数学。然而，儒家的《周易•系辞》上却说：“河出图，洛出书，圣人则之。”，说明不管是黄帝的“河图”和“洛书”，还是炎帝的“易经”，到了战国后期，全都被儒家所虏去予以神化，变成了他们的数术谶书，奉至为他们“占卜”的理论依据。这些东西，当然应该属于秦始皇的焚书坑儒之列。
其实，经过秦始皇的焚书坑儒之后，作为儒家经典的“河图”的早已散失，但是作为单纯数学的“洛书”，却没有跟着一起遭殃受损。我们今天使看到的“河图”，据说是宋代的陈抟，根据《周易大传》的记载，并参照了现存的“洛书”和其它一些相关资料，所揣摩出来的复原品。陈抟根据五行学说的需要，将十个绳结紧环五个绳结，一起画在中间的核心位置，表示位居中央的“土”。其实，“河图”应该是黄帝部落所统一颁布的加法运算的规则，其核心的那十个绳结应该放置在最外围，相当于我们今天的括号。
到了元末明初，这种儒家的数术谶书，终于象癌症一样开始恶性发作起来。这种用蓍卦的“模式图”去反映客观世界，把实践排斥在认识论之外的唯心主义，是致使中国数学中断的元凶。我们今天的西方数学，同样也已经掉进了唯心主义的泥潭，因为他们也在把实践排斥在认识论之外。