七求素数及其幂的分拆——百牛定理实足牛皮 倪则均，2015年7月24日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，古埃及与古巴比伦的不同情况。
古埃及与古巴比伦是世界四大文明古国中的两个，由于这两个文明古国全都缺乏历史记载，使得我们很难了解到他们的详细情况，但是，我们还是可以根据《圣经》的介绍，大致了解到他们的一些简单情况。大约在公元前五千年左右，在非洲的撒哈拉大沙漠的以北部地区，也就是地中海的南岸一带，即今天的阿尔及利亚、突尼斯和利比亚等国之处。生活着一个被称为“闪”的族群，他们依靠畜牧为生。后来由于气候剧变，他们开始东迁，经过埃及和巴勒斯坦，陆续来到西亚两河流域和叙利亚草原定居下来，他们一直保留着相当统一的民族共同体。
大约在公元前三千年左右，“闪族”又按照其语言的差异，再将整个“闪族”分为东、西两大分支。东闪米特人生活在两河流域的北部，阿卡德人、巴比伦人、亚述人是其代表。大约在公元前十八世纪，巴比伦国王汉谟拉比统一了两河流域，也就是现今的伊拉克南部一带，建立起了一个中央集权的奴隶制国家。至公元前六世纪为止，史称这期间这个地区的文化为巴比伦文化，其数学则称为美索不达米亚数学。
如果说古埃及由于尼罗河的年年泛滥，既给下游的埃及带去了肥沃的土地，使得他们生活得十分富足。其实，也是尼罗河的年年泛滥，模糊了田地之间的界线，从而使得古埃及人的田地年年都得重新划分，因此也促进了他们几何学的特别的发展。由于古埃及缺乏文字记载，使得我们无法确切知道，那时他们的几何到底发展到了何等水平。但是，我们从他们四千多年前所建造的那些金字塔，可以推测知道，那时他们的几何学水平已经是很高很高了，大概要比那时我们的中国几何还高出一些吧。
然而，对于古巴比伦来说，其东北山区属地中海式气候，其它地区都是热带沙漠气候。因此除了扎格罗斯山地有较多降水外，全国绝大部分地区气候干旱。夏季最高气温高达50℃以上，冬季在0℃左右。雨量较小，年平均降雨量由南至北100－500毫米，北部山区达700毫米。所以，古巴比伦王国实际上只是一个国土面积不大的小国，物产并不丰富，许多物资极其匮乏，他们的主要精力应该是应用于如何与周边国家发展贸易，根本不会具有研究数学闲情雅致。
其实，对于古巴比伦来说，古埃及应该是他们的最为富有，也是最有学问的乡邻，《圣经》记载，耶稣的祖先曾经由于饥荒，而全家逃亡到了古埃及，在那里一直生活了四百年。当然，古巴比伦的数学，也是只有来自于古埃及的几何，但是他们却未能建造出那么雄伟精确的金字塔。古希腊的“七贤之首”——泰勒斯，他说他是“东方的学生”，此话不假，当然他所说的东方，应该是指其东边的近邻巴比伦。
古巴比伦人在与苏美尔人接触中，不仅融化吸收了对方的语言，同时也完全继承了苏美尔人的，那种运用削尖了的树枝，刻画在松软泥板上的楔形文字。如果说我国最早的文字，是一种刻划在土坯上的陶文，以后发展为甲骨文、金鼎文、竹简文、……。由于直至我们今天所使用的汉字，全部都是一脉相承的关系，所以我们今天的文字学家们，还是可以看懂上述那些极为古老的文字。然而，古巴比伦人的情况却与我们完全不同。
公元762年，巴比伦王国被波斯王国所推翻，1258年波斯王国则被蒙古人攻陷，1508年又被波斯所光复，然而1534年很快又被土耳其人占领，并在1638年后长期受土耳其奥斯曼帝国的统治，1917年巴格达落入英军之手。1921年伊拉克终于成立。由于每一次的外族入侵，必定会伴随着，要强制推行他们自己的文字。由于这种悲剧一再不断地重演，从而使得当地的这种最古老的楔形文字，现在根本就无人能够真正认识。
2，泥板上的勾股数。
据说有人在古巴比伦人的一块泥板上，破解出了以下的一组，让人十分惊讶的勾股数：x=12709，y=13500，z=18541。现在将这块泥板称为“普林顿322”，保存在普林顿大学的图书馆里。现在的问题是，那时的古巴比伦人，是否真的已经具有可以给出这样一组，数字如此庞大的勾股数的数学背景。
由于18541是一个4k+1形素数，笔者已经在“三求素数及其幂的分拆——二平方和如何分成”一文里，给出将其表示为两数平方和的具体的算法。只要经过十分繁琐的运算，我们就不难知道，在全体原根之中，必定有半数的原根的k=5×9×103=4635次方为6526，3k=13905次方为12015。另外半数的原根的k=4635次方为12015，3k=13905次方为6526。例如
6k=64635≡6526，63k=613905≡12015（mod 18541）。
因此若用6526或12015遍乘，所有小于18540^1/2的136个数，必定会出现唯一的一个仍是小于18540^1/2的数，例如6526×54≡125（mod 18541）。由此得到542+1252=18541，1252-542=12709，2×54×125=13500，如此繁琐复杂的庞大运算，仅靠在地上挖几条槽，搬弄几颗石子能完成吗？
然而，让人更为吃惊的是这组泥板上的最大勾股数为（12709，13500，18541）=1，它不仅不是具有最大公约数k的显然勾股数，而是一类两两互素的本原勾股数，并且它还不是一组所谓的毕氏三元数，而是必须运用勾股公式等特殊方法才能得到的一个种子勾股数。如果古巴比伦人确实已经知道了这组勾股数，那么他们就必须至少掌握了以下三个方面数学知识。
第一古巴比伦人必须比我国的《九章算术》更早就已经掌握了勾股公式，然而，古希腊人的数学是从古巴比伦人那里传承过来的，既然古希腊人都不知道勾股公式，古巴比伦人怎会已经掌握了勾股公式；第二古巴比伦人必须比十七世纪的费马，更早就已经知道一个4k+1形素数，可以唯一的表示为二个数的平方和的规律；第三古巴比伦人必须比我更早，就已经找到了将一个4k+1形素数，表示为二个数的平方和的具体方法。
因此，如果破译者没有造假的话，那么，对于古巴比伦人的这种没有后继数学的数学，只能说是早在三四千年前，外星人已经造访过两河流域，这块泥板是外星人替古巴比伦人刻下的，这样岂不成了毫无根据的“天方夜谈”了吗？显然这不是专家学者们应该具有的科学态度。当然，古巴比伦人可以不必知道，这组泥板上的最大勾股数同样具有唯一性，但是，我们却应该设法证明这类种子勾股数的唯一性，因为这是费马的又一个猜想。
对于自然数的特性规律，费马曾作过大量的猜想，至今只是发现他对于费马素数的猜想是错的，那么，他的其它的种种猜想是不是都是对的，我们需要找到一些比较简洁的方法，对它们一一予以验证，看看其正确率到底有多高。种子勾股数的唯一性证明属于难度较大的一个，如果p是一个4k+1形素数，则有p=a2+b2，根据勾股公式即得p2=c2+d2。然而在Φp^2欧拉群里，我们可以运用得到p=a2+b2的同样的方法，得到p2=e2+f2，所以我们必须证明，运用这二种不同的方法，所得到的结果却是完全相同。
3，百牛定理与三元数。
毕达哥拉斯的三元数有着两种不同的说法，一种说法称：m（m＞1），（m2-1）/2，（m2+1）/2为毕达哥拉斯的三元数；另一种说法则称：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为毕达哥拉斯的三元数。二种说法之间一直长期争执，大家都标榜自己所说的是真正毕达哥拉斯的原著原文。其实，毕达哥拉斯学派是一个极其严密的帮派组织，带有十分浓厚的宗教色彩。门徒们的著作不得留名，全归学派所有；他们的创造发明不准外传，必须守口如瓶永保秘密；他们素食、爱护庄稼、男女平等；不管谁违反了教规，都要受到极其严厉的惩罚。因此上述二种说法，全都不可能拿出让人信服的确切证据。
同样，那些数史书上所罗列的，有关毕达哥拉斯学派的种种数学成就，似乎也都毫无根据，例如，阿波罗多罗斯（Apollodorus）在他的《希腊编年书》上说，毕达哥拉斯学派由于发现了勾股定理惊喜若狂，宰杀了一百头牛举行大祭，以谢智慧神缪斯的默示。由于宰牛之说完全违背了毕达哥拉斯学派的教规，属于严重失实，无可争辩。然而现在的史学家们，只是承认宰牛之说失实，并不怀疑毕达哥拉斯学派，是否真的发现了勾股定理。其实，上述关于毕达哥拉斯三元数的两种说法，全都不是完整的勾股公式，它们都是斜边大于一条直角边为1的特殊情况。
其实，数学上的吹牛，对己是不会有所收获的，对人也不会造成什么毒害的，原本以为吹牛只是民间数学爱好者们的专利，不料西方的数史学家们竟然也是如此的热中于吹牛。然而，对于西方的数史学家们来说，有一个极为重要的问题，过去他们一直是避而不谈的，那就是西方数学的千年黑暗，到底是如何造成的？除了基督教的迫害之外，有没有西方数学自身的原因？基督教不是提倡包容和进步的吗？他们不是号召自由、民主、仁爱、诚实与道义的吗？怎么会对西方数学如此的长期的痛下杀手的？如果这个问题还不赶快搞明白，那么前车之鉴就在眼前。