请教luyuanhong老师一个有趣的超球面的极值问题

数学小不点

luyuanhong老师前几天研究了一个有趣的单位超球面的体积和表面积极值问题，从N维到无穷维空间，后来得出了完整的结论，这几天我也遇到了一个关于超球面的极值问题，尚请luyuanhong老师指教一二！谢谢！

luyuanhong

此题解答如下：

数学小不点

luyuanhong老师的答案对于有限维空间的情形当然是正确的，问题是，一旦我们要从无限维空间来解决，就发现出现了悖论，如果允许n趋于无穷，岂不是最大值nR^2成为了无穷大？这与直觉有很大的冲突，所以我怀疑得出的结论很可能是有问题的，这个结论对于无限维的超球有些有悖于常理，一个无限维的超球面，好像不应该是被映射为一个无限大的曲面，您说呢？

luyuanhong

下面引用由数学小不点在 2010/08/07 11:43pm 发表的内容：
luyuanhong老师的答案对于有限维空间的情形当然是正确的，问题是，一旦我们要从无限维空间来解决，就发现出现了悖论，如果允许n趋于无穷，岂不是最大值nR^2成为了无穷大？这与直觉有很大的冲突，所以我怀疑得出　...

我只知道你这问题中 (X1,X2,…,Xn) 是在一个半径为 R 的超球面上，
但不知道你这问题中的 f 的实际意义是什么？为什么 f 不可以成为无穷大？

数学小不点

f的意义很简单，就是指一个有限元二次型的所有系数的平方和，利用拉格朗日乘子法，确实可以求得与luyuanhong老师基本相同的结果，不过，严格的证明要复杂一些，构造函数F(x1,x2,x3,...,xn,λ)求导后，再两两相减，然后就会看出，取xn第二项之后各项均相等，确实可以得到一个极值点，更详细的讨论，尚需考虑其它情况，不过，如果N趋于无穷，而函数f不能收敛，则该二次型就不符合全连续的要求，据泛函分析知识，一个有界的二次型，如不能全连续，则其正交化后，标准二次型中会带着一个极其讨厌的连续谱，这当然是我们不愿看到的，所以，我猜想，他们的平方和不可能是不收敛的，不知luyuanhong老师以为是否如此呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/08/08 08:01pm 第 1 次编辑]

下面引用由数学小不点在 2010/08/08 04:21pm 发表的内容：
f的意义很简单，就是指一个有限元二次型的所有系数的平方和，利用拉格朗日乘子法，确实可以求得与luyuanhong老师基本相同的结果，不过，严格的证明要复杂一些，构造函数F(x1,x2,x3,...,xn,λ)求导后，再两两相减 ...

二次型的系数应该是不含 X1,X2，…,Xn 的，为什么你的二次型的系数中有 X1,X2，…,Xn 呢？

数学小不点

这里的x1,x2,...,xn只是为了书写方便，其实是二次型的系数a1,a2,...,an,为了研究全连续，一般也可理解成变量，以便于分析，当然，若提前做个说明，要更好一些，不过对于所提出问题的处理结果应该并无影响，直觉告诉我，一个有限或无限空间给定直径的超球面，在线性映射后，不可能变到无穷远处，肯定是我们的分析过程在某处出了问题。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
这个问题，我的提法有误，抱歉，真正的问题，我已经解决了，谢谢luyuanhong老师！