[原创]螺旋连环数列问题

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2010/08/12 03:37pm 第 2 次编辑]

[watermark]An=0,1,0,1,.....即奇数项都为0，偶数项都为1；
B1=0,B2=0,B3=0,Bn=A(n-3)+B(n-3),n≥4;
C1至C10都为0，Cn=B(n-7)+C(n-7),n≥11.
求Cn的表达式[/watermark]
根据luyuanhong教授的提问，已经做了修改：原来是：“C1至C10都为0，Cn=B(n-10)+C(n-10),n≥11.”实际应为：Cn=B(n-7)+C(n-7),n≥11
原主题是：递归数列Cn如何求，现在只所以把它改为螺旋连环数列，是因为这种数列为螺旋式的上升，基本上为递增数列（第n项的值比第n-1项的值小的几率几乎为零，当然最少是2维以上，即所求数列最少建立在一维数列上）；连环（连环套之意），大于（或等于）2维的数列是有一维数列的项+本身数列中的项而成。

白新岭

n →2→3→7
1→0→0→0
2→1→0→0
3→0→0→0
4→1→0→0
5→0→1→0
6→1→0→0
7→0→1→0
8→1→1→0
9→0→1→0
10→1→1→0
11→0→2→0
12→1→1→1
13→0→2→0
14→1→2→1
15→0→2→1
16→1→2→1
17→0→3→1
18→1→2→2
19→0→3→2
20→1→3→2
21→0→3→3
22→1→3→3
23→0→4→3
24→1→3→4
25→0→4→4
26→1→4→5
27→0→4→5
28→1→4→6
29→0→5→6
30→1→4→7
31→0→5→7
32→1→5→8
33→0→5→9
34→1→5→9
35→0→6→10
36→1→5→11
37→0→6→11
38→1→6→12
39→0→6→13
40→1→6→14
41→0→7→14
42→1→6→16
43→0→7→16
44→1→7→17
45→0→7→18
46→1→7→19
47→0→8→20
48→1→7→21
49→0→8→22
50→1→8→23
51→0→8→24
52→1→8→25
53→0→9→26
54→1→8→28
55→0→9→28
56→1→9→30
57→0→9→31
58→1→9→32
59→0→10→33
60→1→9→35
61→0→10→36
62→1→10→37
63→0→10→39
64→1→10→40
65→0→11→41
66→1→10→43
67→0→11→44
68→1→11→46
69→0→11→47
70→1→11→49
71→0→12→50
72→1→11→52
73→0→12→53
74→1→12→55
75→0→12→57
76→1→12→58
77→0→13→60
78→1→12→62
79→0→13→63
80→1→13→65
81→0→13→67
82→1→13→69
83→0→14→70
84→1→13→73
85→0→14→74
86→1→14→76
87→0→14→78
88→1→14→80
89→0→15→82
90→1→14→84
91→0→15→86
92→1→15→88
93→0→15→90
94→1→15→92
95→0→16→94
96→1→15→97
97→0→16→98
98→1→16→101
99→0→16→103
100→1→16→105
101→0→17→107
102→1→16→110
103→0→17→112
104→1→17→114
105→0→17→117
106→1→17→119
107→0→18→121
108→1→17→124
109→0→18→126
110→1→18→129
111→0→18→131
112→1→18→134
113→0→19→136
114→1→18→139
115→0→19→141
116→1→19→144
117→0→19→147
118→1→19→149
119→0→20→152
120→1→19→155
121→0→20→157
122→1→20→160
123→0→20→163
124→1→20→166
125→0→21→168
126→1→20→172
127→0→21→174
128→1→21→177
129→0→21→180
130→1→21→183
131→0→22→186
132→1→21→189
133→0→22→192
134→1→22→195
135→0→22→198
136→1→22→201
137→0→23→204
138→1→22→208
139→0→23→210
140→1→23→214
141→0→23→217
142→1→23→220
143→0→24→223
144→1→23→227
145→0→24→230
146→1→24→233
147→0→24→237
148→1→24→240
149→0→25→243
150→1→24→247
151→0→25→250
152→1→25→254
153→0→25→257
154→1→25→261
155→0→26→264
156→1→25→268
157→0→26→271
158→1→26→275
159→0→26→279
160→1→26→282
161→0→27→286
162→1→26→290
163→0→27→293
164→1→27→297
165→0→27→301
166→1→27→305
167→0→28→308
168→1→27→313
169→0→28→316
170→1→28→320
171→0→28→324
172→1→28→328
173→0→29→332
174→1→28→336
175→0→29→340
176→1→29→344
177→0→29→348
178→1→29→352
179→0→30→356
180→1→29→361
181→0→30→364
182→1→30→369
183→0→30→373
184→1→30→377
185→0→31→381
186→1→30→386
187→0→31→390
188→1→31→394
189→0→31→399
190→1→31→403
191→0→32→407
192→1→31→412
193→0→32→416
194→1→32→421
195→0→32→425
196→1→32→430
197→0→33→434
198→1→32→439
199→0→33→443
200→1→33→448
201→0→33→453
202→1→33→457
203→0→34→462
204→1→33→467
205→0→34→471
206→1→34→476
207→0→34→481
208→1→34→486
209→0→35→490
210→1→34→496
211→0→35→500
212→1→35→505
213→0→35→510
214→1→35→515
215→0→36→520
216→1→35→525
217→0→36→530
218→1→36→535
219→0→36→540
220→1→36→545
221→0→37→550
222→1→36→556
223→0→37→560
224→1→37→566
225→0→37→571
226→1→37→576
227→0→38→581
228→1→37→587
229→0→38→592
230→1→38→597
231→0→38→603
232→1→38→608
233→0→39→613
234→1→38→619
235→0→39→624
236→1→39→630
237→0→39→635
238→1→39→641
239→0→40→646
240→1→39→652
241→0→40→657
242→1→40→663
243→0→40→669
244→1→40→674
245→0→41→680
246→1→40→686
247→0→41→691
248→1→41→697
249→0→41→703
250→1→41→709
251→0→42→714
252→1→41→721
253→0→42→726
254→1→42→732
255→0→42→738
256→1→42→744
257→0→43→750
258→1→42→756
259→0→43→762
260→1→43→768
261→0→43→774
262→1→43→780
263→0→44→786
264→1→43→793
265→0→44→798
266→1→44→805
267→0→44→811
268→1→44→817
269→0→45→823
270→1→44→830
271→0→45→836
272→1→45→842
273→0→45→849
274→1→45→855
275→0→46→861
276→1→45→868
277→0→46→874
278→1→46→881
279→0→46→887
280→1→46→894
281→0→47→900
282→1→46→907
283→0→47→913
284→1→47→920
285→0→47→927
286→1→47→933
287→0→48→940
288→1→47→947
289→0→48→953
290→1→48→960
291→0→48→967
292→1→48→974
293→0→49→980
294→1→48→988
295→0→49→994
296→1→49→1001
297→0→49→1008
298→1→49→1015
299→0→50→1022
300→1→49→1029
301→0→50→1036
302→1→50→1043
303→0→50→1050
304→1→50→1057
305→0→51→1064
306→1→50→1072
307→0→51→1078
308→1→51→1086
309→0→51→1093
310→1→51→1100
311→0→52→1107
312→1→51→1115
313→0→52→1122
314→1→52→1129
315→0→52→1137
316→1→52→1144
317→0→53→1151
318→1→52→1159
319→0→53→1166
320→1→53→1174
321→0→53→1181
322→1→53→1189
323→0→54→1196
324→1→53→1204
325→0→54→1211
326→1→54→1219
327→0→54→1227
328→1→54→1234
329→0→55→1242
330→1→54→1250
331→0→55→1257
332→1→55→1265
333→0→55→1273
334→1→55→1281
335→0→56→1288
336→1→55→1297
337→0→56→1304
338→1→56→1312
339→0→56→1320
340→1→56→1328
341→0→57→1336
342→1→56→1344
343→0→57→1352
344→1→57→1360
345→0→57→1368
346→1→57→1376
347→0→58→1384
348→1→57→1393
349→0→58→1400
350→1→58→1409
351→0→58→1417
352→1→58→1425
353→0→59→1433
354→1→58→1442
355→0→59→1450
356→1→59→1458
357→0→59→1467
358→1→59→1475
359→0→60→1483
360→1→59→1492
361→0→60→1500
362→1→60→1509
363→0→60→1517
364→1→60→1526
365→0→61→1534
366→1→60→1543
367→0→61→1551
368→1→61→1560
369→0→61→1569
370→1→61→1577
371→0→62→1586
372→1→61→1595
373→0→62→1603
374→1→62→1612
375→0→62→1621
376→1→62→1630
377→0→63→1638
378→1→62→1648
379→0→63→1656
380→1→63→1665
381→0→63→1674
382→1→63→1683
383→0→64→1692
384→1→63→1701
385→0→64→1710
386→1→64→1719
387→0→64→1728
388→1→64→1737
389→0→65→1746
390→1→64→1756
391→0→65→1764
392→1→65→1774
393→0→65→1783
394→1→65→1792
395→0→66→1801
396→1→65→1811
397→0→66→1820
398→1→66→1829
399→0→66→1839
400→1→66→1848
401→0→67→1857
402→1→66→1867
403→0→67→1876
404→1→67→1886
405→0→67→1895
406→1→67→1905
407→0→68→1914
408→1→67→1924
409→0→68→1933
410→1→68→1943
411→0→68→1953
412→1→68→1962
413→0→69→1972
414→1→68→1982
415→0→69→1991
416→1→69→2001
417→0→69→2011
418→1→69→2021
419→0→70→2030
420→1→69→2041
421→0→70→2050
422→1→70→2060
423→0→70→2070
424→1→70→2080
425→0→71→2090
426→1→70→2100
427→0→71→2110
428→1→71→2120
429→0→71→2130
430→1→71→2140
431→0→72→2150
432→1→71→2161
433→0→72→2170
434→1→72→2181
435→0→72→2191
436→1→72→2201
437→0→73→2211
438→1→72→2222
439→0→73→2232
440→1→73→2242
441→0→73→2253
442→1→73→2263
443→0→74→2273
444→1→73→2284
445→0→74→2294
446→1→74→2305
447→0→74→2315
448→1→74→2326
449→0→75→2336
450→1→74→2347
451→0→75→2357
452→1→75→2368
453→0→75→2379
454→1→75→2389
455→0→76→2400
456→1→75→2411
457→0→76→2421
458→1→76→2432
459→0→76→2443
460→1→76→2454
461→0→77→2464
462→1→76→2476
463→0→77→2486
464→1→77→2497
465→0→77→2508
466→1→77→2519
467→0→78→2530
468→1→77→2541
469→0→78→2552
470→1→78→2563
471→0→78→2574
472→1→78→2585
473→0→79→2596
474→1→78→2608
475→0→79→2618
476→1→79→2630
477→0→79→2641
478→1→79→2652
479→0→80→2663
480→1→79→2675
481→0→80→2686
482→1→80→2697
483→0→80→2709
484→1→80→2720
485→0→81→2731
486→1→80→2743
487→0→81→2754
488→1→81→2766
489→0→81→2777
490→1→81→2789
491→0→82→2800
492→1→81→2812
493→0→82→2823
494→1→82→2835
495→0→82→2847
496→1→82→2858
497→0→83→2870
498→1→82→2882
499→0→83→2893
500→1→83→2905
501→0→83→2917
502→1→83→2929
503→0→84→2940
504→1→83→2953
505→0→84→2964
506→1→84→2976
507→0→84→2988
508→1→84→3000
509→0→85→3012
510→1→84→3024
511→0→85→3036
512→1→85→3048
513→0→85→3060
514→1→85→3072
515→0→86→3084
516→1→85→3097
517→0→86→3108
518→1→86→3121
519→0→86→3133
520→1→86→3145
521→0→87→3157
522→1→86→3170
523→0→87→3182
524→1→87→3194
525→0→87→3207
526→1→87→3219
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1003→0→167→11833
1004→1→167→11857
1005→0→167→11881
1006→1→167→11905
1007→0→168→11928
1008→1→167→11953
1009→0→168→11976
1010→1→168→12000
1011→0→168→12024
1012→1→168→12048
1013→0→169→12072
1014→1→168→12096
1015→0→169→12120
1016→1→169→12144
1017→0→169→12168
1018→1→169→12192
1019→0→170→12216
1020→1→169→12241
1021→0→170→12264
1022→1→170→12289
1023→0→170→12313
1024→1→170→12337
1025→0→171→12361
1026→1→170→12386
1027→0→171→12410
1028→1→171→12434
1029→0→171→12459
1030→1→171→12483
1031→0→172→12507
1032→1→171→12532
1033→0→172→12556
1034→1→172→12581
1035→0→172→12605
1036→1→172→12630
1037→0→173→12654
1038→1→172→12679
1039→0→173→12703
1040→1→173→12728
1041→0→173→12753
1042→1→173→12777
1043→0→174→12802
1044→1→173→12827
1045→0→174→12851
1046→1→174→12876
1047→0→174→12901
1048→1→174→12926
1049→0→175→12950
1050→1→174→12976
1051→0→175→13000
1052→1→175→13025
1053→0→175→13050
1054→1→175→13075
1055→0→176→13100
1056→1→175→13125
1057→0→176→13150
1058→1→176→13175
1059→0→176→13200
1060→1→176→13225
1061→0→177→13250
1062→1→176→13276
1063→0→177→13300
1064→1→177→13326
1065→0→177→13351
1066→1→177→13376
1067→0→178→13401
1068→1→177→13427
1069→0→178→13452
1070→1→178→13477
1071→0→178→13503
1072→1→178→13528
1073→0→179→13553
1074→1→178→13579
1075→0→179→13604
1076→1→179→13630
1077→0→179→13655
1078→1→179→13681
数字7对应的列中的值就是Cn的值，2*3*7=42，把Cn可以用42个1元2次代数式表示出来。

白新岭

MOD(n,42)→→a*t^2→→b*t→→c
0→→21→→36→→16
1→→21→→-5→→0
2→→21→→-4→→0
3→→21→→-3→→0
4→→21→→-2→→0
5→→21→→-1→→0
6→→21→→0→→0
7→→21→→1→→0
8→→21→→2→→0
9→→21→→3→→0
10→→21→→4→→0
11→→21→→5→→0
12→→21→→6→→1
13→→21→→7→→0
14→→21→→8→→1
15→→21→→9→→1
16→→21→→10→→1
17→→21→→11→→1
18→→21→→12→→2
19→→21→→13→→2
20→→21→→14→→2
21→→21→→15→→3
22→→21→→16→→3
23→→21→→17→→3
24→→21→→18→→4
25→→21→→19→→4
26→→21→→20→→5
27→→21→→21→→5
28→→21→→22→→6
29→→21→→23→→6
30→→21→→24→→7
31→→21→→25→→7
32→→21→→26→→8
33→→21→→27→→9
34→→21→→28→→9
35→→21→→29→→10
36→→21→→30→→11
37→→21→→31→→11
38→→21→→32→→12
39→→21→→33→→13
40→→21→→34→→14
41→→21→→35→→14
t=INT((n-1)/42)
n对42的余数对应行为一元二次代数式，每列对应的为系数，t有上边的值确定。

luyuanhong

下面引用由白新岭在 2010/08/09 08:29am 发表的内容：
An=0,1,0,1,.....即奇数项都为0，偶数项都为1；
B1=0,B2=0,B3=0,Bn=A(n-3)+B(n-3),n≥4;
C1至C10都为0，Cn=B(n-10)+C(n-10),n≥11.
求Cn的表达式

第2楼中的计算结果，与第1楼中给出的定义不符。
例如，B(2)=0 ，C(2)=0 ，按照第1楼中给出的定义，有
C(12)=B(12-10)+C(12-10)=B(2)+C(2)=0+0=0 。
可是，在第2楼的计算结果中，却有 12→1→1→1 ，也就是说 C(12)=1 。

白新岭

更正后：C(12)=B(12-7)+C(12-7)=B(5)+C(5)=A(5-3)+B(5-3)+0=A(2)+B(2)=1+0=1

白新岭

此类问题一般的分类表达式为：一元m-1次函数表达式，一系列表达式的系数有等差数列组成（在INT((m-1)/2)次以上，其余次数的系数（或常数项）较复杂。

白新岭

今天得到了一种方法，解决此类问题的方法，其思路与解决歌猜问题大同小异。
先筛选一周期内的各种符合条件的元素，然后进行加法合成，（合成顺序不限制），然后统计各周期的合成方法，然后获得计算公式。

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2010/08/12 03:52pm 第 1 次编辑]

这是一个Excel文件，它是以2x+5y+7z=N为例子进行求解的：

elimqiu

这是把问题看成线性递推关系的解。虽然解的表达式涉及三角函数，取值却恒为整数，三角函数的出现表明问题在某种意义下具有周期性。

白新岭

根据elimqiu先生推出的公式Bn=2/9*√3sin(2nπ/3)+0.25*(-1)^n+1/6*n-1/4,把n=1069代入，B1069=2/9*3/2+0.25*（-1）+1/6*1069-0.25=1/3-0.5+178+1/6=178，此结果正确。通过实际检验，elimqiu先生给出了一种可行的方法解决此类问题。
不用此法，用分类的方法（以最小公倍数作模，来求n对最小公倍数的余数）可以发现好多其它规律，比方最高次项系数为常数，次项系数为等差数列，再结着的项为2次等差数列（这样有规律的项的次数大于或等于INT((m+1)/2),m为不定方程未知数的元数。