九求素数及其幂的分拆——高斯表法公式大错 倪则均，2015年8月10日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，一个数学传奇的形成。
前面我对于二平方和问题的研究，应该说是微观的，是从构成素数群的最基本的原根集合出发的，显然，我的思维方法，完全是属于我们中国式的“运筹归纳”的模式。十年前侥幸发现了在4k+1形素数里，其全体原根之间，对于加法互逆和乘法互逆，存在着一个十分奇异的特殊规律，从而让我首先找到了将一个4k+1形素数，分拆成为二个平方和的具体的做法，最后终于让我得到了，将一个合数分拆成为二个平方和的表法公式。
“表素数为两数平方和的问题”，是我于2012年2月14日，递送给“火花”的一个稿件。不料此文却在07月19日被退了，这是我即将胃癌手术的前夕，审稿专家的退稿意见是：“本文中认为a2+b2≡0（mod p），就有a2+b2=p。但是这是不一定的。文中假定a和b都是第一分块里的元素，什么是“第一分块”？如果b不在“第一分块”又会怎么样？您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”这个退稿意见实在有点可笑，难道他连得陈景润的《初等数论》都没有读过。
这个退稿意见我当然不服，我强忍着化疗的痛苦，努力再写出了“表素数为两平方和的唯一性”再投，这次审稿专家的退稿意见是：“本文所述数学内容，在现有数学文献中基本上都可找到。例如：冯克勤的《平方和》（2011年，哈尔滨工业大学出版社）就是一本关于此论题的最新的内容较全面的书。因此本文的参考价值不够明显。另外，文中关于鸦片战争后中国老一辈数学家“崇洋惧外”的议论有不妥之处；关于“陈景润的挑战”的提法也不够准确，因为陈只是介绍已有的结果。”
冯克勤的《平方和》极其晦涩难懂，其中的内容可谓是七弯八绕，让人机易迷失方向。究其根本原因应该是，其中的许多内容，冯克勤自己好象也都没有完全搞清楚，只是一知半解的乱起哄。其实，高斯企图通过复数去认识整数的做法，实在是荒谬透顶，最后他所给出的，那个二平方和的表法数量公式，似乎错得有点太离奇了。幸亏我对于这个问题早就做了更加深入的研究，对于其中的数学规律早已有所认识，因此我能透过他们所散布的种种迷雾，揭示出其中所隐藏的错误。
气愤之余，我不仅一口气写出了三篇文章，与“火花”展开了针锋相对辩论，同时也给中国科学院领导的院长信箱连发了三个邮件。数学是一门最基础的科学，现在既然被我发现了其中的严重问题，那么对于一个稍有一点责任心的公民来说，就应该如实的，及时的向中国科学院领导反映情况，以引起他们的重视，做到有所准备。其中的“高斯的二平方和表法个数公式”，我是在2014年2月20日递送的，2015年1月6日终于收到了回复：“谢谢作者积极投稿！作者连续投来的几篇文章（如《探究表素数为三平方和问题》、《雅可比恒等式之类的不存在性》及本文 ）中，都对冯克勤先生的论著作了评议。本栏目经审阅后，建议作者直接向冯先生投书提出自己的论述。”
显然，火花没有找到此文存在什么错误，否则就是退稿的问题了。然而，火花似乎也不敢发表此文，因为此文所涉及到的人和事，实在来头太大。但是，不管怎么说，冯克勤的官再大，也都是花的纳税人的钱，因此他必须在网上，给全国人民一个交代。总而言之，我能发现当今高深数学里的一些错误，完全是被逼出来的。当然，我能看出这些错误，是因为博大精深的中国数学，已经让我炼就了一双火眼金睛。我觉得当今高深数学里的错误，一定还有许多，希望大家都能从博大精深的中国数学着手，也都炼就一双火眼金睛，捉出更多的妖魔鬼怪，只有这样数学才能继续向前发展。
2，荒谬的高斯整数环。
1801年，高斯在研究二平方和问题，即不定方程x^2+y^2=n的整数解的问题时，他把这个方程写成了n=（x+iy）（x-iy）形式，然后利用复数的性质，给出n何时为二平方和的判别方法。由于x和y均是整数，所以高斯的门徒将这种复数称为“高斯整数”。由于“高斯整数”之间的加、减和乘法运算的结果，仍然得到的是“高斯整数”，所以全体“高斯整数”的集合构成一个环，称之为“高斯整数环”，表示为：
Z[i]={α=x+iy│x，y∈Z}，其中Z为通常的整数环。
高斯定义α的范为N（α）=│α│^2= x^2+y^2。如果α≠0，存在γ∈Z[i]使得αγ=1，则称α是Z[i]中的乘法可逆元，γ是α的逆。高斯整数α为可逆元的充要条件是N（α）=1，显然，在Z[i]“高斯整数环”里，只有±1和±i四个可逆元。对于α和β两个非零高斯整数来说，若是存在可逆元γ使得α=βγ，则称α和β等价，表示为α～β。如果α和β之间的最大公约数为可逆元，则称α和β互素。若是α和β都是非零的高斯整数，则必定存在γ，δ∈Z[i]，使得αγ+βδ=1。
高斯为了要排除去q=4k-1形素数，特别定义了他的“高斯素数”。如果π是Z[i]里的非零非可逆元，若是它的每一个因子，或者为可逆元，或者是与π等价的高斯整数，则称π为“高斯素数”。这就是说，所谓的“高斯素数”，实际上它只是一个复数，这样的定义不免会造成概念上的混乱。“高斯素数”下面的三条的特性，从表达上来说实在有些含糊不清，不知这是高斯本人，还是作者冯克勤的大作：
（1）设π为高斯整数，并且N（π）=p为素数，则π必为高斯素数。
（2）若π为高斯素数，则其共轭元也是高斯素数。
（3）1+i是高斯素数。若p是奇素数，如果p≡3（mod4），则p也是高斯素数。如果p≡1（mod4），则存在高斯素数π，使得N（π）=p，并且π与其共轭元是不等价的高斯素数，此条本质上给出了全部的高斯素数。显然，此三条性质，是Z[i]“高斯整数环”里的最基本的三条性质，因此，Z[i]里的每个非零非可逆元，都可以唯一的表示为有限个高斯素数的乘积形式。
高斯将每一个正整数n=m^2m＇，都分解成为m^2和m＇二个部分。他将m^2称为正整数n的平方因子部分，将m＇称为正整数n的无平方因子部分。于是他证明了他的高斯定理：n为二平方和的充分必要条件，是n的无平方因子部分m＇，没有模4余3的素因子。尽管高斯对于这个定理的证明是正确的，然而，他对于随后二平方和表法个数公式r2（n）的推导，却出现了极为严重的错误。
3，离奇的高斯表法公式。
若p≡1（mod4），则范为p的高斯素数（等价类）只有两个：a=A+Bi和ā，其中A^2+B^2=p。于是范为p^r的高斯整数共有（不计等价）：a^r，a^（r-1）ā，a^（r-2）ā^2，…，aā^（r-1）和ā^r，从而得到D（p^r）=r+1。显然，高斯根本就不知道，对于指数方次r来说，它是有奇偶之分的，当r为奇数之时，其中只有（r+1）/2个项次是有价值的；当r为偶数之时，其中只有r/2个项次是有价值的。
当然，高斯更不知道，对于指数方次r来说，不管r是奇是偶，其中始终只有一个本原型的勾股数，它就是最高次的种子勾股数，其它都是由低次种子勾股数，所构成的夹心勾股数，高斯的高斯整数环能认识到如此复杂的关系吗？因此，高斯企图运用复数去研究整数的想法，简直就是荒谬透顶。其实，在西方的近代数学之中，比高斯更为荒谬的东西却是大有所在。我们只要打开冯克勤的《平方和》，立即即可发现，似乎到处都是错误。
例如，雅可比恒等式是西方数学家，运用母函数研究平方和表法公式的基本工具，给出了母函数与椭圆模函数之间的重要关系。然而整个的推导过程，似乎不是数学上的逻辑演绎，应该属于心灵上的自由创造之类的东西，说白了想要得到什么样的结果都可以。因此，我们这些凡夫俗子是看不懂他们的东西的，只有跟他们一样也是属于心灵上的自由创造的人，才能心有灵犀一点通。
冯克勤在他的《平方和》一书里说，M．D．Hirschhorn于1985年，运用雅可比恒等式，推导出了与高斯完全相同的二平方和表法个数公式。此话似乎说得不够正确，应该说Hirschhorn也是运用心灵上的自由创造的方法，推导出了比高斯错得更全面，更彻底的二平方和表法个数公式。Hirschhorn的那个昏天黑地的公式，是以下面的定理4给出的：设正整数n=(2^α0)(p1^α1)…(ps^αs)(q1^β1)…(qt^βt)，其中p1，…，ps，q1，…，qt是不同的素数，并且p1≡p2≡…≡ps≡1（mod4），q1≡q2≡…≡qt≡3（mod4）则当β1，…，βt至少有一个为奇数时，r2（n）=0。然而，当β1，…，βt均是偶数时，r2（n）=4（α1+1）（α2+1）…（αs+1）。
正确的公式应该是，当αi为奇数时令wi=（αi+1）/2，，当αi为偶数时令wi=αi/2，则有r2（n）=[2^（w1+w2+…+ws-1）] w1w2…ws。

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文中的二平方和表法个数公式应该修正为：r2（n）=w1w2…ws2^（s-1）。