我对公式∑（6－k）• pk＝12的认识

雷明85639720

我对公式∑（6－k）• pk＝12的认识
雷  明
（二○一五年八月十六日）

1、我对该公式的认识
公式∑（6－k）•pk＝12的展开式是：
4p2＋3p3＋2p4＋p5－p7－2p8－3p9－……＝12         （1）
式中： k是极大平面图每个顶点的度，pk是k度顶点的个数；
公式∑（6－k）•pk＝12还可以表示成∑（6－k）•FK＝12，其展开式是：
4F2＋3F3＋2F4＋F5－F7－2F8－3F9－……＝12         （2）
式中：k是地图中每个区域的边数，Fk是边数为k的区域的个数；
由于极大图与3—正则的平面图（即地图）是互为对偶的，所以同一个公式就有了以上两个不同的表达方式。这两个方式都是可以通过欧拉公式推导出来的，都是有理论根据的。其推导过程在张彧典先生的《四色问题探秘》一书和其他文献中都有。上两式是一个恒等式，对于任何极大平面图与3—度正则的地图都是适用的，但对于其他的平面图是不适用的。现以极大图为例举例说明如下：
K3图是一个极大图，对应的是一个2—轮，它有3个顶点，各顶点的度均是2，代入（1）式则是：
    （6－2）×3＝12
K4图（正4—面体）是一个极大图，对应的是一个3—轮，它有4个顶点，各顶点的度度均是3，代入（1）式则是：
    （6－3）×4＝12
对底3—棱锥（3—菱体）也是一个极大图，有5个顶点，两个3—度顶点，3个4—度顶点，代入（1）式则是：
    （6－4）×3＋（6－3）×2＝12
对底4—棱锥（4—菱体或正8—面体）也是一个极大图，有6个顶点，各顶点的度均是4，代入（1）式则是：
    （6－4）×6＝12
正20—面体也是一个极大图，有12个顶点，各顶点的度均是5，代入（1）式则是：
    （6－5）×12＝12
但K2图，正6—面体，正12—面体，4—棱锥和5—棱柱等都不适用于（1）式：K2图有两个顶点，各顶点的度均是1，代入（1）式则是（6－1）×2＝10≠12；正6—面体有8个顶点，各顶点的度均是3，代入（1）式则是（6－3）×8＝24≠12；正12—面体有20个顶点，各顶点的度均是3，代入（1）式则是（6－3）×20＝60≠12；4—棱锥有5个顶点，一个4—度顶点，4个3—度顶点，代入（1）式则是（6－4）×1＋（6－3）×4＝14≠12；5—棱柱有10个顶点，各顶点的度均是3，代入（1）式则是（6－3）×10＝30≠12。
公式（1）∑（6－k）•pk＝12和公式（2）∑（6－k）•FK＝12都是一个恒等式，对于任何的极大图与3—正则图（地图）都是适用的。公式（1）只能说明任何平面图中至少都一定存在一个度是小于等于5的顶点，这就是平面图的不可免度集，公式（2）也只能说明任何地图中也至少都一定存在着一个边数小于等于5的区域。再无它用。
2、我对该公式的推导
我对以上的公式（2）的推导是这样的：
地图中至少存在着一个区划的相邻区划数小于等于5的推导：
用fn（n≥2）来表示不含“国中之国”（即一个区划包围一个区划）的地图中相邻区划数为n的区划（即n—圈或n—边形面）的个数，那么地图的总区划数f则是
f＝f2＋f3＋f4＋f5＋f6＋f7＋……＋fn  或  f＝
因为地图中所有n—边形区划边数的总和是地图中的总边界数e的2倍，所以又有
2e＝2f2＋3f3＋4f4＋5f5＋6f6＋7f7＋……＋nfn
和
e＝ （2f2＋3f3＋4f4＋5f5＋6f6＋7f7＋……＋nfn）  或  e＝
因为连通的地图是一个3—正则的平面图，其顶点全是3—度顶点，即其每一个顶点均连有3条边，则地图中的边数e与顶点数v的关系则是
        3v＝2e
所以又有
3v＝2f2＋3f3＋4f4＋5f5＋6f6＋7f7＋……＋nfn
和
v＝ （2f2＋3f3＋4f4＋5f5＋6f6＋7f7＋……＋nfn）  或  v＝
因为地图是一个平面图，所以连通平面图的欧拉公式一定也适用于不含“国中之国”的连通地图。把以上的v，e，f分别代入连通平面图的欧拉公式v＋f＝e＋2得
     （2f2＋3f3＋4f4＋5f5＋6f6＋7f7＋……＋nfn）＋f2＋f3＋f4＋f5＋f6＋f7＋……＋fn
         ＝ （2f2＋3f3＋4f4＋5f5＋6f6＋7f7＋……＋nfn）＋2
        2（2f2＋3f3＋4f4＋5f5＋6f6＋7f7＋……＋nfn）＋6（f2＋f3＋f4＋f5＋f6＋f7＋……＋fn）
         ＝3（2f2＋3f3＋4f4＋5f5＋6f6＋7f7＋……＋nfn）＋12
        6（f2＋f3＋f4＋f5＋f6＋f7＋……＋fn）－（2f2＋3f3＋4f4＋5f5＋6f6＋7f7＋……＋nfn）
         ＝12
        （6－2）f2＋（6－3）f3＋（6－4）f4＋（6－5）f5＋（6－6）f6＋（6－7）f7＋
＋……＋（6－n）fn＝12
4f2＋3f3＋2f4＋1×f5＋0×f6＋（－1×f7）＋……＋（6－n）fn＝12
或
         ＋ ＝ ＋2
        2 ＋6 ＝3 ＋12
6 － ＝12
＝12
上式中左边从第五项0×f6开始到最后一项（6－n）fn止，每项的值均是小于等于0的，公式的右边等于12，是正数。即就是不存在第五项以后的各项，左边的前四项至少要有一项是大于0时，公式的右边才能是正数（或者在 ＝12中，在i≤6的前四项中，至少有一项是大于0时， ＝12才有可能成立能成立）。由于各区划所相邻的区划数（即该区划的边界条数）fn（n≥2）是不会小于2 的，正好区划数为 f2、f3、f4、f5的这些区划的边界线的条数（也即与其相邻的区划数）都是大于等于2的。上式也说明了地图中至少要有一个区划的边界线条数是2，或是3，或是4，或者是5的存在，也就是说地图中至少有一个区划的边界条数是2、3、4或5。这就证明了地图中至少存在着一个区划的相邻区划数小于等于5。
也可以用欧拉公式来证明：
仍是采用反证法：若地图中各个区划的边数都不小于6，所以就有6f/2＝3f＝e，即f＝e/3；地图中的各个顶点都是三界点，其度都是3，所以又有3v＝2e，即v＝2e/3。同样的把v＝2e/3和f＝e/3代入平面图的欧拉公式则得到0＝2的结果，又是矛盾的，也应否定假设。这也就证明了地图中至少存在着一个区划的相邻区划数小于等于5。
3、对于该公式的应用我与网友的对话
下面是我对于该公式的认识和几个网友的网上交换意见的记录：
8月16日我对张彧典说：
今于好好的看了一下你对王树禾教授的《图论》书中关于双5—轮构形与5—轮—6—轮构形的证明的评论，我们都有同感，的确王先生的公式推导中有错误。是不是就是你后面的理解那样，我就不知道了。但我觉得“图论1943”先生在你文后评论中说的那4点还是有道理的。这个证明对证明四色猜测是没有什么作用的。他本身把（6－k）（k是顶点度）的值的正负或0，看作是正负电荷的放电现象就是没有道理的，本来定理5.5是对地图（3—正由图）或极大图，从欧拉公式推导出来的（在你的书《探秘》中也有推导过程的），任何平面图中所有顶点的（6－k）（k是顶点的度）的求和都是等于12的，是一个恒值，即∑（6－k）×vk＝12（k是顶点度数，vk是度为k的顶点数），而王先生在这里则变成了求某一个大于等于7的k次顶的（6－k）＋1/5是否大于0的问题了，这能得出正确的结论吗。
8月16日网友“图论1943”对“12341234数字先生”说：
网友12341234：我说几句，不一定对，供你参考吧。1、张彧典老师的路子是在一些已涂区上色的点中有五个点。此五点已占用了四种色（只有两个点色相同）。另有一个待着色点V，此五个点都是V的邻点。以上这些是已知条件。要求（任务）是在保持邻点异色的情况下如何调改颜色使此五点上的颜色为三（更少也可）种色，能在此四种颜色中至少空出一种颜色来给V着上。2、你就说王树禾老师书中的图5.16.该图没满足张老师的路子中的已知条件；所以张老师可能没法直接回答你可不可约吧。
我看到“图论1943”的上述话后，我在其后面说：
这就是一个如何定义“构形”的问题了。张先生等的构形中只有一个顶点未着色，叫待着色顶点。而王的书中的构形定义并不是只有一个未着色顶点，可以是若干个，但这个“若干”有没有界限，并没有明确。这样的话，一个图在未给任何一个顶点着色时，也可以叫做一个“构形”了，这还有什么意义呢。一个构形中只有一个待着色顶点，这就能与平面图中至少有一个顶点的度是小于等于5是相对应的，这样平面图的不可免度集中的元素就只有0，1，2，3，4，5六个，对应着我们平时所说的0—轮构形，0—轮构形，1—轮构形，2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形和0—轮构形六种构形构成的不可免构形集。而王树禾的书中说的有多个待着色顶点的构形，在这里又与平面图中的顶点度是个什么关系呢。构形中的待着色顶点不管有多少个，总是要一个一个的去着色，当只剩下最后一个未着色时，不就还是只有一个待着色顶点的构形了吗，这个顶点的度难道就不可能是5吗，王书中用一个双5—轮和一个5—轮—6—轮构形来代替5—轮构形，能代替得了吗。
我看到“12341234”数字先生所说的一个由4个5—轮构成的构形的着色后说：
12341234，你把图5.16的构形看成一个图，且不是极大图，只给这几个顶点的图着色，谁不会着呢。你可要知研究构形的是否可约，是在构形围栏以外的所有顶点都着上了四种颜色之一，且围绕栏顶点已占用完了四种颜色时的情况下，如何给待着色顶点着色的问题，而不只是给围栏及待着色顶点构成的图的着色。请问你能证明这个图5.16的构形是可约的吗。你是如何给这个构形中的4个待着色顶点着色的呢，请拿出来看一看。当你把4个待着色顶点中的3个着上了颜色后，最后那一个待着色顶点是如何着色的，你不画图别人能看明白吗。剩下一个待着色顶点没有着色时，这不又是一个5—轮构形吗，你们用别的构形能代替了它吗。所谓用别的构形代替5—轮构形，都是在骗人，是绕开矛盾走的，但最终你能绕过吗。别人叫你画图不是没有道理的，你不要只是在介绍某某人是怎么搞的，叫别人去看，说不定别人比你还要看得认真得多呢。不要认为写到书上的东西就都是正确的。你把王树禾的书好好的研究一下吧。
4、再对王树禾的书说几句
本来上面的公式（1）是针对极大的平面图的所有顶点而言的，是一个恒等式，对任何一个极大图都是适用的，但并不适用于非极大的平面图。可是王树禾先生在其《图论》一书中却是用在了计算一个非极大图（一个构形围栏以内的部分的确是一个非极大图）的某一个顶点的“所获电荷”上，这是不对的。本来公式的右边是恒等于12的，他却以是否大于等于0来进行判断，这也是错误的。我不明白，在图论中对平面图的着色中，解决构形是否可约时的一个数学问题与物理学中的“放电”有什么联系呢，为什么在这里非要引出了一个“放电理论”呢。这不是人为的把问题搞得复杂化了吗。



雷  明
二○一五年八月十六日于长安

注：此文已二○一五年八月十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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