一解多个平方和分拆——规律与非规律问题 倪则均，2015年8月19日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，影响数学发展的几件大事。
大约是在几万年之前，在我们人类文明最初出现的时期，就应该已经出现了作为一切科学文化基础的数学。由于地理环境等方面的差异，应该是从远古时代开始，亚洲大陆的东西方之间，就已经出现了两种完全不同的思维模式。西方的思维模式，是以古埃及的几何作为主体的思维模式，这种思维模式是开拓型的，特别讲究的是逻辑演绎，因此他们必须将客观所存在着的各种实物图形，抽象简化成为不多的几条公理去予以论证。
东方的思维模式，是以我国古代的算术作为主体的思维模式，这种思维模式这种思维模式是渐进型的，特别讲究的是运筹归纳，因此他们非常注重，必须要从全局的观点去认识部分的问题，尤其是各个部分之间的联系，所以他们极其重视实践检验的问题，只有通过实践检验了的算理算法，他们才敢实际予以应用，才会更进一步的去予以发展。有人说这种过分重视实际应用的中国，正是中国数学的致命的缺陷，讲这种话的人似乎已经完全忘记了，西方数学所经历了的三次严重危机，以及上千年的漫长黑暗时期。
数学需要抽象，抽象的目的是为了使比较复杂的实际问题，变得清晰明了一些，因此，抽象的结果决不能将所有的实质内容全部抽空，将原本比较简单的问题，搞得异常晦涩复杂。数学需要类比，然而，类比的条件似乎比同构的条件更为严格，而且类比的结果必须经过反复的实践检验。高斯运用复数去类比整数，笔者已经证明这是一个荒谬透顶的类比，下面我们还要证明，高斯所创造的二次型理论，根本不能应用于三平方和的分拆问题。
显然，高斯的上述二个类比，都是无法通过实践去予以验证的，其实，早在高斯之前的欧拉，就已经搞出了几个，无法通过实践去予以验证的类比。以后，高斯的徒子徒孙，更是搞出了许多，让人瞠目结舌的五花八门的类比。为了解决高斯的类比，无法通过实践去予以验证的问题，高斯的学生戴德金，可谓是“青出于蓝而胜于蓝”了。戴德金干脆写出了一本名为《数是什么，数应该是什么》的书。他说：“数是人类心智的自由创造”。他认为数的概念，完全不依赖于空间和时间的表象或直观，而是一种纯粹思想规律的直接产物。
十五岁的高斯曾猜想，小于x的素数的数量为π（x），约等于对数积分Li（x）。1896年，法国的阿达玛和比利时的瓦莱•普桑，双双运用了所谓的高深数学，证明了这个“素数定理”。当时华罗庚的英国导师哈代曾说：“如果谁给出了素数定理初等证明，那他就证明了（我们现在关于数论、解析函数论中所谓深刻，所谓肤浅的）见解是错误的，……从而到了该丢掉一些著作来重写理论的时候了。”然而，二十八年之后，这个“素数定理”，则被赛尔伯格和爱尔特希，运用初等方法所证明，但是哈代却没有履行他的诺言。
哈代公开坦白声明，他的解析数论除了数学美之外，是不能解决任何的实际问题的。然而，我们今天的人类社会，不管是我们的日常生活，还是一般的科学研究，可以说事事处处都是离不开数学的，这种情况可能再过一万年也都不会改变。其实，哈代的解析数论，不仅没有什么美，它简直是丑得让人望之生畏。既然哈代的解析数论，不能解决任何实际问题，那么就真的只好请他滚蛋了，当然，这种东西滚得越远越好。
2，规律性与非规律性的问题。
如果素数p是一个p=4k+1形素数，那么对于它的二平方和分拆，由于这样的分拆具有极其严格的唯一性，因此不存在规律性分拆与非规律性分拆的问题。然而，素数p若是一个p=8k+3形素数，那么对于它的三平方和分拆，却是具有另一种形式的唯一性，因此，对于三平方和分拆的问题，也就出现了规律性分拆，与非规律性分拆的问题。在三平方和的分拆问题上，规律性分拆与非规律性分拆，是不能混为一谈的。
所有的p=8n+3形素数，全部都是第一层素数，它们则可以唯一的分拆成p=x^2+2y^2形式，它们的2的周期为单偶数。例如，11=9+2×1，2在素数11里的周期为10，也是一个原根；19=9×2+1，2在素数19里的周期为18，仍是一个原根。再如43=25+2×9，2在素数43里的周期为14；67=49+2×9，2在素数67里的周期为66，还是一个原根。对于这种唯一性的分拆，我们称之为规律性分拆。
然而，在所有的p=8n+3形素数之中，却还存在着一些比较特殊的素数，它们既可以分拆成p=x^2+2y^2形式，也可以分拆成p=x^2+y^2+z^2的形式，例如，我们既可以将素数59分拆为59=9+2×25的规律性分拆形式，还可以将它分拆成59=1+9+49的非规律性分拆形式；我们既可以将素数83分拆为83=81+2×1的规律性分拆形式，还可以将它分拆成83=9+25+49的非规律性分拆形式。
由于所有的p=8n+3形素数，全部都能唯一的分拆成x^2+2y^2形式，因此我们称这种形式的分拆为规律性分拆。由于只有部分的p=8n+3形素数，还可以再分拆成p=x^2+y^2+z^2的形式，所以我们将这种形式的分拆为非规律性分拆。我们研究素数的三平方和分拆，当然只能研究它的规律性分拆，不能研究它的非规律性分拆，其实对于非规律性的分拆，可以说是毫无解决办法的。3是最小的8n+3形素数，我们应该将它规律分拆为3=1+2×1。
冯克勤在他的《平方和》里，运用了大量的篇幅介绍了，高斯创立了一个所谓的二次型理论，对于研究三平方和问题，所取得的“卓越”成果，这应该是高斯又一个让人瞠目结舌的成果，因为高斯所研究三平方和问题，是属于非规律性分拆的问题。其实，高斯的《算术研究》，其中的绝大部分内容，也是研究的二次型理论和三平方和分拆的问题，真可谓是好戏连台，让你目不暇接。
3，数学研究中的系统性问题。
笔者一直认为任何一个数学问题，它们决不会是一个真正孤立的问题，首先它们决不会是一条无源之水，一个无本之木。其次是它们必定会与其它的许多数学问题，存在着种种千丝万缕的关系。因此，我们研究数学必须对其进行系统的研究，绝对不能就事论事，不能孤立的去对待任何一个问题。
刘徽是研究中国数学思想的第一人，他在《九章算术注》里认为，分门别类各个击破是九章算术的基本思想，但是，如果能把整个九章算术看作是一个有机的整体，努力探索其各个部分之间的联系，这是一种更高的思想境界。刘徽在他的《九章算术注•原序》里说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采之所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干同者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”
高斯对于三平方和问题的研究，由于他的思想方法完全是孤立的，所以他采用的是非规律性的分拆，从而让他在错误的歧途上越滑越远。高斯根本没有看到三平方和分拆，与二平方和分拆之间，存在着一种完全一致的相似的关系，例如两者之间全都具有唯一性和可算性的规律问题，它们的乘法运算规律也是完全一致的，所以它们的表法公式几乎完全相同。
其实，四平方和分拆与三平方和分拆和二平方和分拆之间，同样也存在着一种完全一致的相似的关系，它们全都具有唯一性和可算性的规律问题，它们的乘法运算规律也是完全一致的，所以它们的表法公式也是几乎完全相同。因此，四平方和分拆与三平方和分拆和二平方和分拆之间，实际上是一个系统性的问题。
冯克勤在他的《平方和》里说：“最后我们再谈谈三平方和表示的表法个数问题，高斯第一个给出了与二元二次型等价类数有关的表法公式。它的证明则需要更高深的数论。在这本小册子里我们不想介绍证明本身，而只叙述其结果，算做是一个交代。”这是什么话？显然，不管高斯运用如何高深的数论来推出他的三平方和的表法公式，我们完全可以肯定的说，它们必定也全部都是错的。
由于我只是一个普通的数学爱好者，根本无法找到高斯如何运用高深的数论，来推出他的三平方和的表法公式的原件。其实即使有人给我提供了些原件，我也是看不懂的，因为我只在读高中时，学了三年俄语。因此希望大家能与我戮力同心，共同为纠正数学发展史上这个最大的错误，作出我们的一分贡献。