三解多个平方和分拆——三平方和的表法数 倪则均，2015年9月11日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，规律三平方和的乘法运算。
我在前面的文章中已经指出，如果p1和p2是两个p=2k+1（k=4n+1）形素数，它们的规律三平方和分拆为：p1=2A^2+B^2和p2=2a^2+b^2，那么它们的乘积为：p1p2=（2A^2+B^2）（2a^2+b^2）=2（Ab+aB）^2+（2Aa-Bb）^2=2（Ab+aB）^2+（2Aa-Bb）^2。这就是说，两个p=2k+1（k=4n+1）形素数的乘积，它们的规律三平方和分拆数为2个，这与两个p=4k+1形素数乘积的情况完全一致。
冯克勤在他的《平方和》第一章第四节“三平方和”里，首先搬出了高斯对于“每个形如（8b+7）×4^a的正整数均不是三平方和”的证明。接着他又给出了一个命题：“设n是不同素数的乘积，并且不具n≡7（mod8），则n为三平方和”。冯克勤还进一步指出，想要证明这个命题，除了需要掌握二元二次型的理论之外，还需要知道一点关于三元二次型方面的知识。由此可见，高斯在三平方和问题上，所兜的错误圈子实在是够大的了，还好还没有给兜到火星上去，否则高斯的错误将永远不会被人发现。
对于一个p=4n+1形素数来说，将其分拆成为二个数的平方和，只是一种规律分拆，其实，对于有些p=4n+1形素数来说，它们也是具有非规律性分拆的。它们的非规律性分拆，则是将其分拆为规律的三平方和，或是将其分拆为规律的四平方和，这或许也是属于一种反反得正的规律吧。其实，对于有些p=2k+1（k=4n+1）形素数来说，它们也能非规律性的分拆为规律的四平方和。例如19=16+3×1，67=64+3×1。
对于一个p=4n+1形素数来说，只有当其n为偶数时，才能将其非规律性的分拆为规律的三平方和，因为只有此时的2是一个二次剩余。例如17=9+2×4，257=225+2×16，65537=255^2+2×16^2。再如89=9^2+2×4，233=225+2×4。此时，我们完全可以将它们看作是一规律的三平方和，去参与乘法运算。然而，只有当其n为奇数时，才能将其非规律性的分拆为规律的四平方和，因为只有此时的3是一个二次剩余，而此时的2不是二次剩余。例如13=1+3×4，37=25+3×4，61=49+3×4，93=81+3×4。
如果p2=a^2是一个平方数，那么它与p1=2A^2+B^2的乘积为：p1p2=[（2A^2+B^2）]a^2=2（Aa）^2+（Ba）^2，只有一种规律三平方和分拆。有趣的是2与p1=2A^2+B^2的乘积为：2p1=2B^2+C^2，似乎只是将乘积中的2移动了一下位置。无独有偶，3与p1=3A^2+B^2的乘积为：3p1=3B^2+C^2，同样只是将乘积中的3移动了一下位置。显然，此三种乘法运算的结果，都是非本原的。
2，规律三平方和的表法公式。
对于一个p=2k+1（k=4n+1）形素数来说，由于它的规律三平方和分拆，与q=4k+1形素数的二平方和分拆，具有完全类似的原理，所以，p=2k+1（k=4n+1）形素数的规律三平方和分拆，不仅同样具有存在性、唯一性和可算性，使得它们的乘法运算也基本一致。其实，对于一个p=2k+1（k=4n+1）形素数来说，其p^r幂的规律三平方和分拆，也是与q=4k+1形素数幂的二平方和分拆，几乎完全相同的。
因此，当r为奇数时，首先可以将p^r分解为一个奇次方与一个偶次方（包括0次方在内）的乘积，也就是对于指数r作加法和分拆（其中一个加数可以为0），于是只要将其中的奇次方分拆为规律的三平方和即可。显然此时的p^r，可以分拆为（r+1）/2种规律的三平方和，但是其中只有一个是本原的，它就是一个奇次方与一个0次方的乘积，这是一个r级的种子规律的三平方和，而其它的（r-1）/2种，全部都是非本原的，但是它们都有一个低级的，奇种子规律的三平方和夹心。
例如，最小奇素数3就是一个p=2k+1（k=4n+1）形素数，3^5=243只能分拆为下面三组规律的三平方和：第一组为3^5=243=1+2×121，这是本原的；第二组为3^5=243=9（25+2×1）=225+2×9，由于具有公因子9，所以它是非本原的。第三组为3^5=243=81（1+2×1）=81+2×81，由于具有公因子81，所以它也是非本原的。
然而，当r为偶数时，首先可以将p^r分解为二个偶次方（包括0次方在内）的乘积，也就是对于指数r作加法和分拆（其中一个加数可以为0），于是只要将其中的二个偶次方，分别分拆为规律的三平方和即可。显然此时的p^r，可以分拆为r/2种规律的三平方和，但是其中只有一个是本原的，它就是一个偶次方与一个0次方的乘积，这是一个r级的种子规律的三平方和，而其它的（r-2）/2种，全部都是非本原的，但是它们都有一个低级的，偶种子规律的三平方和夹心。
例如，3^6=729只能分拆为下面三组规律的三平方和：第一组为3^6=729=529+2×100，这是本原的；第二组为3^6=729=9（49+2×16）=441+2×144，由于具有公因子9，所以它是非本原的。第三组为3^6=729=81（1+2×4）=81+2×324，由于具有公因子81，所以它也是非本原的。
如果L是一个q=4k+1形素数的乘积，其中的q=4k+1形素数全都可以分拆为规律的三平方和，不妨假设其分拆为规律的三平方和的总表法数为J。于是对于正整数n=(2^α0)(p1^α1)…(ps^αs)，其中p1，…，ps为p=2k+1（k=4n+1）形素数来说，若是再令当αi为奇数时令wi=（αi+1）/2，，当αi为偶数时令wi=αi/2，那么，正整数Ln可以分拆为规律的三平方和的总表法数为：Jw1w2…ws×2^s。
3，非规律三平方和的问题。
高斯实际上希图证明，除了q=8n+7形素数之外的所有的素数p，全都可以分拆为非规律的三平方和形式，即p=x^2+y^2+z^2。当然，这必须允许未知底数可以为0或相等，例如将2、3、5、11分别表示为：2=1+1+0，3=1+1+1，5=4+1+0，11=9+1+1。然而，这样表示之后，5=4+1+0却不能作为一个乘数，去参加分拆为非规律三平方和的运算的。例如3×5，11×5是不能分拆为非规律三平方和的。
对于某些p=2k+1（k=4n+1）形素数来说，它们既可以分拆为规律的三平方和，还可以分拆为非规律的三平方和，例如59=9+2×25=1+9+49，83=81+2×1=9+25+49，107=9+2×49=1+25+81，139=121+2×9=9+49+81。为什么有些p=2k+1（k=4n+1）形素数，只能分拆为规律的三平方和？而有些p=2k+1（k=4n+1）形素数，却还可以分拆为非规律的三平方和？这个问题比较容易解释，然而现在我们还不知道，是不是存在着可以分拆为一种以上的，非规律三平方和的p=2k+1（k=4n+1）形素数？
对于59和83的乘积来说，它的规律三平方和分拆为：59×83=（9+2×25）（81+2×1）=37^2+2×42^2=17^2+2×48^2。它的非规律三平方和分拆为：59×83=（1+9+49）（9+25+49）=10^2+21^2+66^2=6^2+10^2+69^2。然而，（9+2×25）与（9+25+49），（1+9+49）与（81+2×1）却是不能相乘的。两个p=2k+1（k=4n+1）形素数的，非规律三平方和的乘法恒等关系，似乎是无法推导出其具体的表达式的，但是这样的倍增算法，可以通过合数环予以解释的。
为什么某些p=2k+1（k=4n+1）形素数，它们既可以分拆为规律的三平方和，还可以分拆为非规律的三平方和的呢？其实，如果g是p=2k+1（k=4n+1）形素数的一个原根，那么对于的表达式g^2r+g^（2r+k）=mp来说，只要根据其存在性和可算性，就必定有唯一的a^2+2b^2=p。然而，有时也会偶然出现c^2+2q=p，q是一个4k+1形素数，这就是非规律三平方和分拆的来历。
因此，将一个正整数分拆为非规律的三平方和的表法公式，根本就无法予以推导，然而，这种根本就没有办法推导出来的表法公式，高斯却用他的戏法给变出来了，岂不令人瞠目结舌！更其让人不可思议的是，这个骗人的把戏，二百多年来居然一直没有被人戳穿，现在我将它戳穿了，还居然没有人敢相信！