规则合数环与素数的分布公式 倪则均2015年9月13日（2014年7月17日投火花被压至今）

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1，对于自然数的“质”的表示
我们今天所使用的自然数，不管是最初东方的十进位制记数法，还是西方的六十进位制记数法，乃至以后陆续出现的二、八、十二、十六等进位制记数法，它们全都属于最原始的，对于客观事物的一种“量”的表达。“序”的概念，是“量”的概念的引申，最初专门运用于记时，仍然属于“量”的范畴。现在的“向量”，只是将“量”的概念的引申到空间，同样属于“量”的范畴。
纯粹数学最初是一门专门研究自然数自身性质的数学。几千年来人们对于纯粹数学的研究始终无法深入，未能取得什么根本性的突破，究其原因，主要是由于大家一直没有找到，对于自然数自身性质的表达方法。以往人们都是运用对于客观事物的“量”的表达，去研究自然数的自身的性质，不但无法深入，而且将许多原本十分简单的问题，搞得极其繁琐复杂，不少原来很浅显的道理，搅得那么晦涩难懂。
对于客观事物的“量”的表达方式，是我们研究客观事物的工具，对于自然数自身的“质”的表达方式，是我们研究自然数自身性质的工具。笔者认为如果将我们对于自然数的研究，纳入到规则合数环里去进行研究，并且将其中的元素，运用同余式组去予以表达，这就是对于自然数的“质”的表示，也是研究自然数最为简捷最为有效的方法。
规则合数环是一个从最小的唯一的一个偶素数域H2开始的，按照全体奇素数由小到大的顺序，逐个不断增加其中的奇素数因子。因此，规则合数环是一种纵向的扩张合数环，表示为：Hpn#（pn#=p1p2p3…pn，p1=2，p2=3，p3=5，……）在H2偶素数域里，只有二个因子数，它们是：1≡〈1〉，2≡〈0〉（mod2），称之为根本同余式组。
当H2偶素数域扩张为H2×3规则合数环时，首先应该将上述两个根本同余式组扩张为：1≡〈1，1〉，2≡〈0，2〉（mod2×3）。然后再将这两个扩张后的根本同余式组，依次各加0个2，1个2和3-1个2，得到第一次纵向扩张后的六个同余式组为：1≡〈1，1〉，3≡〈1，0〉，5≡〈1，2〉，2≡〈0，2〉，4≡〈0，1〉，6≡〈0，0〉，（mod2×3）。
按照同样的方法，我们极易将H2×3合数环扩张为H2×3×5合数环，只要根据下面的30个同余式组，不用再作任何的运算，立即就可以得到这个H2×3×5合数环的各阶子群，可谓一目了然。由于其元素之间的运算，可以通过各个分量的运算去实行，所以可以在电子计算机上同时进行，因此格外快捷，这是一种十分独特的模运算形式。
1≡〈1，1，1〉，2≡〈0，2，2〉，3≡〈1，0，3〉，4≡〈0，1，4〉，5≡〈1，2，0〉，
6≡〈0，0，1〉，7≡〈1，1，2〉，8≡〈0，2，3〉，9≡〈1，0，4〉，10≡〈0，1，0〉，
11≡〈1，2，1〉，12≡〈0，0，2〉，13≡〈1，1，3〉，14≡〈0，2，4〉，15≡〈1，0，0〉，
16≡〈0，1，1〉，17≡〈1，2，2〉，18≡〈0，0，3〉，19≡〈1，1，4〉，20≡〈0，2，0〉，21≡〈1，0，1〉，22≡〈0，1，2〉，23≡〈1，2，3〉，24≡〈0，0，4〉，25≡〈1，1，0〉，
26≡〈0，2，1〉，27≡〈1，0，2〉，28≡〈0，1，3〉，29≡〈1，2，4〉，30≡〈0，0，0〉。
2，素数的分布公式。
在上述30个同余式组之中，显而易见，有着8个同余式组是不含任何0分量的，它们就是H30合数环里的0阶构造子群Φ30，也就是H30合数环里的规则欧拉群。如果φi是 规则合数环里的1个欧拉数，那么φj=pn# -φi就必定也是这个规则合数环里的1个欧拉数。这就是说，尽管规则合数环里的全体欧拉数构成一个乘法交换群，但是它们对于加法运算来说，尚能具有两两结对加法互逆的特性，因此，规则合数环里的全体欧拉数，在整数轴上是严格对称分布的。
由于规则合数环里的0阶构造子群是严格对称分布的，所以它的其它的各阶构造子群必定也是严格对称分布的。如果再根据上述逐级的生成扩张规律，即可知道在规则合数环里，其全体欧拉数的分布，尽管不是绝对的平均，但还是比较相对的均衡与对称。对于上述H30合数环来说，如果我们用s（x）表示小于等于x的欧拉数的实际数量，用j（x）表示运用j（x）=4x/15近似计算所得到的小于等于x的欧拉数的数量，并令计算误差w=s（x）-j（x）则有：


   此表特意将两个加法互逆的x排列在一起，显而易见，其中欧拉数项的误差之和全都为1，而非欧拉数项的误差之和则全都为0。那么，为什么会出现如此规律？其实原因十分简单。如果令w1=s（x）-j（x），w2=s（30-x）-j（30-x），则有w1+w2= s（x）-j（x）+s（30-x）-j（30-x）=s（30）-j（30）。因此对于非欧拉数项，其误差之和都为0，对于欧拉数项来说，由于重复计算了一个实际存在的欧拉数，所以它们的误差之和都为1。这种规律，在其它所有的规则合数环，全都同样存在。
在规则合数环里，如果一个欧拉数的各个分量都不为-2，那么这个欧拉数加2，其和必定仍是一个欧拉数，这两个欧拉数称之为孪生。一般来说，孪生欧拉数比较集中的区域，它们的计算误差大都为正。对于〈0，0，…，0，1，-1〉和〈0，0，…，0，-1，1〉来说，它们是n-2个连续素数的乘积，重要的是这两个数加减1至pn-1-1后，必定全都不是欧拉数，这是两个欧拉数之间的最大的间距。显然，在这两个数的减pn-1-1之处，它们的计算误差必定为正，而在这两个数的加pn-1-1之处，它们的计算误差必定为负。
在 规则合数环里，它们的n个1阶素因子，就是最小的n个连续素数。其中小于pn^2的欧拉数，除了一个1之外，其它都是大于最大素因子pn的素数。而大于pn^2的欧拉数，则是大于最大素因子pn的素数之间的乘积。因此，当pn^2≥x＞pn-1^2时，小于等于x的素数的数量π（x），应该可以运用下面的公式予以计算：
S（x）=n-1+2×4×6×…（pn-1）x/2×3×5×…pn                 （A）
3，素数定理的问题。
素数定理π（x）～x/logx，是高斯15岁时的一个猜想，小于x的素数的个数π（x），或许与x的对数积分Li（x）渐近相等，由于Li（x）～x/logx，所以π（x）～x/logx。1859年，高斯的学生黎曼，发表了他唯一的一篇数论文章。此篇名为“论给定量以内的素数数目”的文章极其简略，全文总共只有八页。此文似乎试图揭示ζ函数与素数分布规律之间的关系，然而疏漏却是很大。为了填补黎曼的漏洞，法国科学院于1890年设立了名为“决定一定界内素数个数”的大奖。
1896年，法国的阿达马和比利时的瓦莱—布桑，分别独立地运用高深的解析工具，即复变函数方法证明了这个素数定理。1949年，挪威的赛尔伯格与匈牙利的爱尔特希，又双双同时运用初等方法，分别独立证明了这个素数定理。似乎他们都是证明了π（x）/x，当x趋向无穷大时，它们的极限为0。其实当x趋向无穷大时，π（x）也是趋向于无穷大的，因此π（x）/x极限是不可能为0的。
其实，运用素数定理x/logx计算所得到的素数的个数，与实际存在的小于等于x的素数的个数，它们之间的误差w是很大的，正确率δ=（计算数）/（实际数）是较低的。有人通过计算机算出，当x=5×106时，π（x）=348513，运用素数定理x/logx计算所得到324148，δ=0.930…。然而，如果运用我们上面所给出的公式（A）计算所得到的素数的个数，与实际存在的小于等于x的素数的个数，它们之间的误差w却是较小，正确率δ=（计算数）/（实际数）则是很大。
x         π（x）     x/logx         δ           （A）         Δ
1000      168         144.764…      0.862…       159.721…     0.951…
2000      303         263.126…      0.868…       291.408…     0.962…
5000      669         587.047…      0.877…       657.988…     0.984…
10000    1229        1085.889…      0.883…      1216.260…     0.990…
由此可见，运用我们上面所给出的公式（A）计算所得到的结果，要比运用素数定理x/logx计算所得到的结果更为精确。那么如此逐级纵向扩张下去，这样的正误差能否永远保持下去？答案当然是肯定，因为对于上述分布公式来说，当x=pn^2时，可以分拆为下面的二式相减的形式。
S（pn^2）=[（2-1）×（3-1）×…（pn-1-1）（pn-1）pn^2]/2×3×…pn-1pn
=[（2-1）×（3-1）×…（pn-1-1）pn^2]/2×3×…pn-1
-[（2-1）×（3-1）×…（pn-1-1）pn^2]/2×3×…pn-1pn。
其中的减式表示由n-1级扩张到级时，按照计算所要去掉数。然而当pn=11时，其值已经为88/35＞2，显然pn越大其值也越大，因此以后必定全都大于2。然而由n-1级扩张到级时，实际上只要去掉pn和pn2二个数中的一个pn，所以如此不断地逐级纵向扩张下去，运用公式（A）的计算结果，必定永远为正误差，并且所得结果也是逐级递增的。

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当pn^2≥x＞pn-1^2时，小于等于x的素数的数量π（x），应该可以运用下面的公式予以计算：
S（x）=n-1+2×4×6×…（pn-1）x/2×3×5×…pn         （A）

由此可知：x=pn^2
S（x）=n-1+x∏(1-1/pn)
因：∏(1-1/pn)/(1/lnx) =2/e^r≈1.1229  （r为欧拉常数）
此公式与素数定理不一致，因此是错误的。参见Mertens定理。

错误的原因：
当x=pn^2
x∏(1-1/pn)是区间[kpn^2+1，(k+1)pn^2]（k≥0）之中与n个素数p1,p2,...pn互素的整数的平均个数，不能排除其中有合数的可能。而不是区间[1，pn^2]之中与n个素数p1,p2,...pn互素的整数的个数，即素数个数。

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火花可能不知道错误的原因，因此无法回复。

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从最小素数p1=2开始，由n个连续素数的乘积所构成的n阶规则合数环，其欧拉群是由1，大于pn的素数以及它们的乘积所组成，其最的一个乘积为pn+1^2，因此在小于pn^2的欧拉数之中，只有一个1不是素数。其实，这就是十分古老的逐步淘汰原理。公式（A）不仅始终保持着正误差，而且比所谓的素数定理，更为精确可靠。2015年9月15日。

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x             π（x）      x/logx              δ             （A）              Δ
10000      1229        1085.889…      0.883…      1216.260…     0.990…
100000    ?              ?                    ?               ?                    ?
1000000  ?              ?                    ?               ?                    ?

x→∞，Δ～2/e^r≈1.1229  （r为欧拉常数）
公式（A）计算数比实际数偏大约12.29%，即公式（A）中约有12.29%与n个素数p1,p2,...pn互素的合数。

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数论必须从实际存在出发，不能搞心灵的自由创造！我从实际出发已经证明，公式（A）不仅始终保持着正误差，而且这种正误差会变得越来越大。你的欧拉常数从何而来？来自于实际存在吗？其证明方法可靠吗？是高斯的荒谬理论吗？你自己有没有做过验证？还是仅凭道听途说，就这样以讹传讹？！2015年9月16日。

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公式（A）不仅始终保持着正误差，而且这种正误差会变得越来越大。
已经说明公式（A）中的合数越来越多。

然而，如果运用我们上面所给出的公式（A）计算所得到的素数的个数，与实际存在的小于等于x的素数的个数，它们之间的误差w却是较小，正确率δ=（计算数）/（实际数）则是很大。
请问：正确率δ有多大？其极限是多少？

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你应该先答复我所反问的问题，这是正人君子的态度礼貌。其实所谓的欧拉常数，仅仅是与调和级数和自然对数有关而已，它与素数的分布根本没有什么直接关系。你问：正确率δ有多大？其极限是多少？好象太幼稚了，发散的数列能给出它的极限吗？2015年9月16日。

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既然已经知道欧拉常数，何必又问？这是正人君子的礼貌态度？
既然已经知道素数定理正确率δ极限为1，素数数列不发散了？好象太幼稚了。
既然认为公式（A）正确率δ没有极限，只能说明公式（A）中的合数越来越多，又怎么能推出公式（A）中的素数越来越多？更谈不上公式（A）比素数定理更为精确。

数论必须从实际存在出发，不能搞心灵的自由创造！

公式（A）正确率δ极限=2/e^r≈1.1229  （r为欧拉常数），而不是没有极限。
正确率δ极限≠1，即不正确。

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我从实际出发已经证明，公式（A）不仅始终保持着正误差，而且这种正误差会变得越来越大。
原因：公式（A）中合数越来越多。