《分角定理》与一题千解猜想，真吗？

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《分角定理》与一题千解猜想，真吗？
先看《分角定理》是否真。《分角定理》为：三角形中的一角被一直线内分或外分，又分对边为两线段时，则两线段之比等于与两对应分角正弦之正比乘以与两对应分角的两条不重合边之正比。
用《正弦定理》证明。已知△ABC的∠A被AD内分，则：
(sin∠ADC/sin∠CAD)=(AC/CD),(sin∠BAD/sin∠ADB)=(BD/AB),两式相乘→
(sin∠BAD/ sin∠CAD)=(BD/CD)·(AC/AB)=(BD/CD)·(sin∠ABC/ sin∠ACB)⑴，→
(BD/CD)= (sin∠BAD/ sin∠CAD) ·(AB/AC)= (sin∠BAD/ sin∠CAD) ·(sin∠ACB/ sin∠ABC)⑵, →
(AB/AC)=(BD/CD)·(sin∠CAD/ sin∠BAD)= (sin∠ACB/ sin∠ABC) ⑶, →
(BD/AB)= (sin∠BAD/ sin∠CAD) ·(CD/AC⑷, →
(sin∠CAD/ CD)= (sin∠BAD/ BD)·(AB/AC) = (sin∠BAD/ BD) (sin∠ACB/ sin∠ABC) ⑸, →
(sin∠BAD/ sin∠ABC)  = (BD/CD)·(sin∠CAD/ sin∠ACB) ⑹
总之，在四角四边的关系中，任两对应边与边，对应正弦角与正弦角，对应正弦角与边之比都可以用其他两个比的乘积来表示。
又△ABD的∠BAD被AC外分，则：
(sin∠BAC/ sin∠DAC)=(BC/DC)·(AD/AB), (BC/DC)= (sin∠BAC/ sin∠DAC) ·(AB/AD)。
其他变化形式同上。所以《分角定理》是真的。
再看有千解的题是否真，此题是1999年全国高中联赛加试几何题，当然真。为何《分角定理》能对此题作出千解？第一，《分角定理》有如上的多个变化形式。第二，此题有多条分角线，多个三角形，多对互补角和对顶角，可以用《分角定理》和《正弦定理》作出多种变化和代换。第三，最重要的是，面对如此多的客观条件，主观上也找到了正确的解题思路和有效的操作手段，那就是《变》《代》《配》，大家常用，无须多讲。请看以下举例。
1999年全国高中联赛加试题：已知四边形ABCD，对角线AC平分∠BAD，
F在AC上，BF延交CD于E，DF延交BC于G。
求证：∠CAG=∠CAE 。创新要求：不添线，只用三角函数，只列一式。
（证明一）：设AG交BF于H，AE交DF于M，∠BAC=∠DAC=a，
∠CAG=∠1,∠CAE=∠2，∠BAG=∠3,∠DAE=∠4。（分）表《分角定理》，
（正）表《正弦定理》，※表对顶角，●表互补角。
似难列式，但可分析结论→sin∠1/ sin∠2=1㈠，由AF分∠EAH，
由（分）→㈠(变)为sin∠1/ sin∠2=(FH/EF)·(AE/AH)=1, 由此可知，
只要把=(FH/EF)·(AE/AH)变为1就行了。但左边无法变，逼上梁山，只好添加线段，
（配）出线段比，便于用《分角定理》《正弦定理》，和已知条件α、∠3、∠4，于是有：
sin∠1/ sin∠2=（配）(BH/AH)·(AE/DE)· (DE/EF)×(FH/BH)=(正)（代）（sin∠3/ sin∠ABH）·(sin∠ADE/sin∠4)·(sin∠ADE/sin∠4)·(sin∠DFE※/sin∠EDF)×(分)（代）(sin∠FGH/sin∠BGH)·(sin∠FBG/sin∠                     BFG※)。(变) →
sin∠1/ sin∠2=（ sin∠3/ sin∠4）·（配）（AF/ sin∠ABH ）·(sin∠FGH/AF)·(sin∠ADE/sin∠BGH)·
（CF/ sin∠EDF ）·(sin∠FBG/CF)·[两组角有相同边，（配）后可用(正)（代）]（变） →
sin∠1/ sin∠2=（ sin∠3/ sin∠4）·（AB/ sin∠AFB·）·(sin∠AFG※/AG)·(sin∠ADE/sin∠BGH)·（CD/
sin∠ECFD※）·(sin∠BFC·/BC)[选用四组比，为能（变）简和再]（变）→
sin∠1/ sin∠2=（ sin∠3/ sin∠4）·（AB/ AG）·(sin∠ADE/sin∠BGH)·（配）(CD/AC)·(AC/BC)( 变)→sin∠1/ sin∠2=（ sin∠3/ sin∠4）·(正)（代）（ sin∠BGH/ sin∠ABG）·(sin∠ADE/sin∠BGH)·（ sinα/ sin∠ADE）·（ sin∠ABG/ sinα）。( 变)→sin∠1/ sin∠2= sin∠3/ sin∠4。逼上梁山，只好再（变）→
（代）sin∠1 sin（α－∠2）= sin∠2sin（α－∠1）→
sin∠1 sinαcos∠2－sin∠1 cosαsin∠2 =sin∠2sinαcos∠1－sin∠2cosαsin∠1→
sin∠1 cos∠2= sin∠2cos∠1→tan∠1= tan∠2,由∠1 、∠2＜π/2→∠1= ∠2。
∴只要从已知的边角比例关系开始，证明了sin∠1/ sin∠2= sin∠3/ sin∠4，
sin∠1/ sin∠3= sin∠2/ sin∠4，（sin∠1sin∠4）/（sin∠2sin∠3）=1，
（sin∠1/sin∠2）=[sin（α＋∠1）/sin（α＋∠2）]，或等等。这又增加了更多的不同解法。
（证明二）经试验，选取（AM/AE）×（DE/CD）×（BC/BG）·（FG/MF）=
(sin∠AFM·/sin∠AFE※)·（MF/EF）×（ sin∠DFE※/ sin∠CFD·）·（EF/CF）×
（ sin∠BFC※/ sin∠BFG※）·（CF/FG）·(FG/MF)=1。
另（代）入→1=（FG/MF）×（DE/CD）×（BC/BG）×（AM/AE）=（sin∠1/sin∠2）·(AG/AM)
×（sin∠4/sinα）·(AE/AC)×（sinα/sin∠3）·(AC/AG) ·(AM/AE)= sin∠1 sin∠4/sin∠2 sin∠3。证毕。
（证明三）经试验，选取(sin∠CFD/ sin∠BFC)·(sin∠CBF/ sin∠CDF)·(sin∠ADC/ sin∠ABC)=
(配) (sin∠CFD/ sin∠BFC)·(sin∠CBF/ CF)·(CF/ sin∠CDF)·(sin∠ADC/ AC)· (AC/ sin∠ABC)=(正)(代)
(sin∠CFD/ sin∠BFC)·(sin∠BFC/ BC)·(CD/ sin∠CFD)·(sinα/ CD)· (BC/ sinα)=1。由此→
1=(sin∠CFD/ sin∠BFC)·(sin∠ADC/ sin∠ABC)·(配) (sin∠CBF/ sin∠BFG※)·(sin∠DFE※/ sin∠CDF)=
(sin∠CFD/ sin∠BFC)·(sin∠ADC/ sin∠ABC)·（FG/BG）·（DE/EF）=
(sin∠CFD/ sin∠BFC)·(sin∠ADC/ sin∠ABC)·(配) （FG/AG）·（AG/BG）·（DE/AE）·（AE/EF）=
(正)(代) (sin∠CFD※/ sin∠BFC※)·(sin∠ADC/ sin∠ABC)·（sin∠1/sin∠AFG※）·（sin∠ABC/sin∠3）
·（sin∠4/sin∠ADC）·（sin∠AFE※/sin∠2）= sin∠1 sin∠4/sin∠2 sin∠3。证毕。
(证明四)经试验，选取（BC/BE）·（DG/CG）·（EF/DF）=(正)(代)(sin∠BEC·/ sin∠C)·
(sin∠C/ sin∠CDG)·(sin∠CDG/ sin∠DEF·)=1。由此→1=(配) （BC/CG）×（DG/DF）×（EF/BE）=(分)(代)（sinα/sin∠1）·（AB/AG）×[sin(α＋∠1)/sinα]·（AG/AF）×
[sin∠2/sin(α+∠2)]·（AF/AB）= [sin∠2 sin(α＋∠1)]/[sin∠1]sin(α＋∠2)]。证毕。
（证明五）经试验，选取1=(AB/AB)·(AD/AD)= (配) (AB/AF)×(AF/AD)×⑶(代)(AC/AB)·(AD/AC)=
(sin∠1/sin∠3)·(BH/FH)×(sin∠4/sin∠2)·(FM/DM)×(AC/AB)·(AD/AC) )(正)(代)=
(sin∠1sin∠4/ sin∠2sin∠3) ·(BH/FH)×(FM/DM)⑵(代)×(sin∠ABC/ sin∠ACB)· (sin∠ACD/ sin∠ADC)=
(sin∠1sin∠4/ sin∠2sin∠3)·(sin∠BGH·/sin∠FGH)·(sin∠BFG※/sin∠FBG)×(sin∠FEM/sin∠DEM·)·
(sin∠EDF/sin∠DFE※)×(sin∠ABC/ sin∠ACB)· (sin∠ACD/ sin∠ADC)=
(sin∠1sin∠4/ sin∠2sin∠3)·(sin∠CGH·/sin∠ACB)·(sin∠ACD/ sin∠CEM·)·(AF/sin∠FGH)·(sin∠FEM/AF)
×(sin∠ABC/ sin∠FBG)×(sin∠EDF/ sin∠ADC)=
(sin∠1sin∠4/ sin∠2sin∠3)·(AC/AG)·(AE/AC)·(AG/sin∠AFG·)·(sin∠AFE·/AE)
×(AC/CF)·(sinα/ sin∠AFB·)×(CF/AC)·(sin∠AFD ·/ sinα) =(sin∠1sin∠4/ sin∠2sin∠3)。证毕。
  从以 上五例看出，解题过程全由（变）（代）（配）引导和操作，（变）向需要，（变）到能用（定理）（等量）（代）换，（变）到简单，（变）后能再（变），（变）向目的。（代）是（变）的主要方法，（配）是（变）的特殊手段，通过（代）（配）才能（变）。三者互相依存，要综合运用。
通过五例，传出一个信息，此题可能是数学史上惟一低级奇题，奇在：不添线、只列一式、只用《正弦定理》和《分角定理》、只用（变）（代）（配）引导和操作、就可能作出千多个甚至几千个不同解法。低级在：一般中学水平的人就能理解，学会去作。因为列式全是比例相乘，变化单一，只是分子分母的左右移动和增加减少。
解题难在靠试验选取起始比例式，以后（变），靠总结和积累经验。如照例五，有406个起始式，再增加一条线段，就有几千个起始式，因为图有29条线段。所以猜想是真的，但要有事实。
我年过古稀，无法实现这个猜想，希望数学爱好者去探索，找出更多、更简的解法，总结出理论和经验，在数学史上留下一段佳话。五例也有点实用价值，提供如何运用（变）（代）（配）的引导和操作。关于这个特殊模式（比例积）的特殊运用，恐怕以前无人作过。
如：1992年全国初中联赛几何题。已知：△ABC，AB=AC，已知：△ABC，AB=AC，D在BC上，E在AD上，且∠BED=∠A=2∠CED。㈠  求证：BD=2CD。  求证：BD=2CD。
此题用添线，有很多解法。但十多年来，无人用三角函数（不添线）解出。我用这特殊模式（不添线，只列一式），解出此题如下：由图示有多条分角线，可用《分角定理》，由结论（变）出→
（BD/CD）=(sin∠BAE/sin∠CAE)·(AB/AC)=2→此时题（变）为证sin∠BAE=2∠sin∠CAE。
由∠ABE+∠BAE=∠BED=由㈠∠A=∠BAE+∠CAE→∠ABE=∠CAE⑴。
由∠BAE+∠CAE=∠A=由㈠2∠CED=2∠CAE+2∠ACE→∠BAE=∠CAE+2∠ACE⑵。
由BE分∠ABD，用《分》→(AE/DE)=(sin∠ABE/sin∠DBE)·(AB/BD) →
(AE/AB)=(sin∠ABE/sin∠DBE)·(DE/BD) ⑶。
(配)出[(sin∠BAE－sin∠CAE)/sin∠A]=⑵(代)[sin(∠CAE+2∠ACE)－sin∠CAE]/
[2cos∠A/2·sin∠A/2]=[2cos(∠CAE+∠ACE) sin∠ACE]/由㈠[ 2cos(∠CAE+∠ACE) sin∠A/2]=
[sin∠ACE/由㈠ sin∠AEC](正)(代)=(AE/AC)=(AE/AB)= ⑶(代) (sin∠ABE/sin∠DBE)·(DE/BD)=
(sin∠ABE/sin∠DBE)·(sin∠DBE/sin∠BED)=[ ⑴(代) sin∠CAE]/[由㈠sin∠A],由分母同→
sin∠BAE=2sin∠CAE)。证毕。
用此模式（不添线、只列一式、用三角函数）解出，还有两个不同方法。请试试。
广西河池市河供电局退休办                  张光禄2005，5，1

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[帖批]俞根强，闹蠢货，瘪气了；俞氏荣耀走下坡路