再谈伯克豪夫钻石构形的4—着色

雷明85639720

再谈伯克豪夫钻石构形的4—着色
雷  明
（二○一五年九月十七日）

我在上一篇文章《对王树禾《图论》一书中所谓伯克豪夫钻石构形的4—着色》一文中已对该构形进行了4—着色，说明了该构形是一个非H—构形，说明阿贝尔用此构形来代替5—轮构形中的H—构形是不合理的，也说明了阿的“证明”是不能得出H—构形是可约的结论的，他的所谓证明只能是一个验证而已。不能算作证明。王树禾在他的《图论》书中只谈到对该构形的围栏顶点的着色，虽然也对其中的四个待着色顶点都着上了颜色，但并没有说明是如何着上的，即没有说明其着色的方法。而我在上一文章中对该图的着色，则是根据数字先生12341234说的把“abcdef 各顶点分别着 121313 色。把 ghij 各顶点分别着 4242 色”所进行的。我们虽也指出了12341234对相邻顶点h和j都着上了同一颜色2的错误，而只是对其中之一着2色后所得到的5—轮构形进行的着色。今天我们要在王树禾把围栏顶点“abcdef 各顶点分别着 121313 色”的基础上再对该构形进行着色。
1、在王树禾对围绕栏顶点着色基础上其待着色顶点的可能着色模式
因为待着色顶点再多，也总得一个顶点一个顶点的去着色，最后只剩下一个待着色顶点时，才是真正探索其能否着上图中已用过的四种颜色的决定时候。所以在围栏顶点“abcdef 各顶点分别着 121313 色”的情况下，其待着色顶点g、h、i、j有以下如图1的各种着色模式。在各模式中，实际上也都是一个5—轮构形，只要研究这个5—轮构形是否可约，就能说明这个伯克豪夫钻石构形是否可约。

2、分析
这里的构形中都含有若干个待着色顶点和若干个围栏顶点，实际上在围栏顶点外还有无数个已用四种颜色着了色的顶点。所以分析问题时不光要看到现有的顶点，还要看到无数的未画在图中的顶点。
第一，首先看图中已显示出的顶点中有没有连通链，如果有，这个构形就是非H—构形，是可约的。因为这条连通链一定是把其相反色链隔成了环内环外互不连通的两部分的，交换其中任一部分相反色链都可以空出一种颜色给待着色顶点着上。这时不需要再考虑围栏顶点外的未显示的顶点的着色情况是完全可以的。否则，就得考虑围栏外的顶点了的着色情况了。进行下一步；
第二、这时从最复杂的情况进行考虑，当存在两条连通且相交叉的、又都是关于两个同色所夹颜色的链的情况，这种情况下，两条关于两个同色的色链一定是不会再连通的。在这种情况下：
一是看有没有包含两个同色顶点在内的环形链，有则该构形是可约的，是可以同时移去两个同色的（这种情况下，不能交换其相反色链，因为即就是交换了，图中仍会有两条连通且相交叉的链），交换任一个关于两个同色的色链，都不会使另一个关于两个同色的色链产生的连通的情况；
二是看有没有不包含两个同色顶点的、且经过5—轮轮沿顶点的环形链，有则构形是H—构形，交换其相反色链，可使两条连通且相交叉的链均变得不连通，使构形转变成非H—构形；
三是以上的两种环形链均存在的情况，这就是米勒的M—构形，可交换被包含两个同色顶点在内的环形链所隔开成互不连通的两部分的相反色链的任一部分，使构形转变成可约的非H—构形；这种构形也可以进行所谓的赫渥特颠倒一次，使构形转变成H—构形，再用解决H—形的办法进行着色；
四是以上的两种链全不存在的情况，也不可能同时移去两个同色的情况，这就是类似张彧典先生的第八种构形（我称之为Z—构形）的情况，也只有通过一次赫渥特颠倒，使构形转变成非H—构形、H—构形或M—构形后再进行着色；
五是还有一种情况，只有包含两个同色顶点在内的环形链，但没有其相反色链的环形链，又不能同时移去两个同色。这一情况可以交换被环形链隔开成互不连通的两部分的相反色链的任一部分，使构形转变成非H—构形再进行着色，也可以先进行一次赫渥特颠倒，使构形转形后再着色。
这里的分析，具体情况请见我以前的有关文章。还有没有别的情况，就说不准了。
3、图1中各5—轮构形的4—着色

按王树禾的说法，图中的围绕栏顶点a、b、c、d、e、f 分别着色为1、2、1、3、1、3，则图1的各个图在不考虑其围栏顶点以外的顶点的情况下，其中的10个顶点中都分别含有一条包含两个同色顶点在内的a1—g3—c1—d3—e1—f3—a1环形链和c1—d3—e1—f3—a1—g3—c1环形链，都可以同时移去两个同色3，分别给待着色顶点j和h着上（如图2，其中图2，d就是王树禾《图论》书中第101页的结果）。由于图中（包括围栏顶点外的顶点）存在着两条连通且相交叉的、又都是关于两个同色所夹颜色的链，所以另外的两条关于两个同色的链一定是不会连通的，分别都被以上的两条连通链分隔成了互不连通的两部分，所以分析问题时不必再考虑该项两链是否连通了。
从这个伯无豪夫钻石着色结果看，说明了该构形本身就是一个非H—构形，用它怎么能够代替H—构形呢，又怎么能够证明H—构形是可约的呢。
4、结论
阿贝尔证明中的其他那么多用来代替5—轮构形的构形，我也不可能一一的进行验证，他们是不是都不是H—构形呢，我怀凝与伯克豪夫钻石构形是一样的，有可能都不是H—构形。
从王树禾的书中可以看出，存在着以下几个问题：
他只给出了该构形围栏顶点的着色模式，而没有说明如何给四个待着色顶点是如何着色的，而别人又不能乱猜，这是第一个问题所在；
他只说了要进行坎泊链的交换，但没有说清楚为什么要交换，交换的是什么链，这是第二个问题所在；
第三，他在交换时好象没有考虑到围栏顶点以外的顶点的着色情况，这也是不应该的。
从王树禾的书中的内容看，我怀凝阿贝尔的所谓电子计算机的证明，是不是都只考虑了构形的围栏顶点和待着色顶点的着色，而没有考虑围栏顶点以外的还有无数个顶点的着色情况。请网友们考虑一下这个问题。如果是这样，他的这个证明就是失败的，连验证也不能算了。
雷  明
二○一五年九月十七日于长安

注：此文已于二○一五年九月十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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